作业帮1的平方+2的平方+3的平方+4的平方+……+n的平方这通项公式怎么推断?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 04:28:24
1的平方+2的平方+3的平方+4的平方+……+n的平方这通项公式怎么推断?
1的平方+2的平方+3的平方+4的平方+……+n的平方这通项公式怎么推断?
1的平方+2的平方+3的平方+4的平方+……+n的平方这通项公式怎么推断?
1^2+2^2+3^2+……+n^2= n(n+1)(2n+1) / 6
当n=1时,1^2=1*(1+1)*(2+1)/6=1,成立.
设当n=k时,1^2+2^2+3^2+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6成立.
则当n=k+1时,1^2+2^2+3^2+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)[k(2k+1)/6+(k+1)]=(k+1)(k+2)(2k+3)=k+1)(k+2)[2(k+1)+1].
所以1^2+2^2+3^2+……+n^2= n(n+1)(2n+1) / 6.
1的平方+2的平方+3的平方+4的平方+……+n的平方 = n(n+1)(2n+1) / 6
可以用数学归纳法证明，如果完全从头推，比较麻烦，想知道的话，我可以写下来，只是太繁了。
对于n=1,2,3的情形,容易验证：`\sum_{n=1}^{N} n^2={n(n+1)(2n+1)}/6`;
如果命题对于N成立，则n=N+1时：
`\sum_{n=1}^{N+1} n^2={N(N+1)(2N+1)}/6+(N+1)^2`
$=(N+1){(2N^2+N+6N+6)/6}$
$={(N+1)(N+2)(2N+3)}/6}$
$={(N...
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对于n=1,2,3的情形,容易验证：`\sum_{n=1}^{N} n^2={n(n+1)(2n+1)}/6`;
如果命题对于N成立，则n=N+1时：
`\sum_{n=1}^{N+1} n^2={N(N+1)(2N+1)}/6+(N+1)^2`
$=(N+1){(2N^2+N+6N+6)/6}$
$={(N+1)(N+2)(2N+3)}/6}$
$={(N+1)((N+1)+1)(2(N+1)+1)}/6$
即命题对于N+1仍然成立，故得证。
51Math无忧数学网网友:51math15
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1²+2²+3²+.....+n²=n(n+1)(2n+1)/6，这个公式是怎么推出来的？
(n+1)³-n³=3n²+3n+1，将n=1，2，3，......，n，依次代入得n个等式，然后竖向相加：
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2&...
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1²+2²+3²+.....+n²=n(n+1)(2n+1)/6，这个公式是怎么推出来的？
(n+1)³-n³=3n²+3n+1，将n=1，2，3，......，n，依次代入得n个等式，然后竖向相加：
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
4³-3³=3×3²+3×3+1
............................
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
______________________+
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+....+n²)+3(1+2+3+...+n)+n
∴1²+2²+3²+.....+n²=(1/3)[n³+3n²+3n-3(1+n)n/2-n]=(1/3)[n³+(3n²+n)/2]
=[n(2n²+3n+1)]/6=n(n+1)(2n+1)/6.
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