作业帮已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=1/2 (3n+Sn)对一切正整数n恒成立.问：{an}中是否存在三项成等差数列?若存在,请求出一组；若不存在,请说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 10:56:32
已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=1/2 (3n+Sn)对一切正整数n恒成立.问：{an}中是否存在三项成等差数列?若存在,请求出一组；若不存在,请说明理由.
已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=1/2 (3n+Sn)对一切正整数n恒成立.
问：{an}中是否存在三项成等差数列?若存在,请求出一组；若不存在,请说明理由.
已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=1/2 (3n+Sn)对一切正整数n恒成立.问：{an}中是否存在三项成等差数列?若存在,请求出一组；若不存在,请说明理由.
（1）由题意知an=1/2（3n+Sn）对一切正整数n恒成立,又当n=1时,s1=a1.
所以a1=1/2(3+a1),所以a1=3
(2)证明：由题意知an=1/2（3n+Sn）对一切正整数n恒成立,
即2an=3n+Sn ……①对一切正整数n恒成立.
所以2a（n+1）=3（n+1）+s（n+1）……②
②-①得：2a（n+1）-2an=3+s（n+1）-Sn ,所以2a（n+1）-2an=3-a（n+1）所以3a（n+1）-2an=3
即[a（n+1）+3]=2∕3（an+3）,
又a1+3=4＞0,所以a2+3=2∕3（a1+3）＞0,由此类推an+3＞0
所以[a（n+1）+3]／（an+3）=2∕3,
所以数列{an+3}是以a1+3=4为首项,以2∕3为公比的等比数列.
假设数列{an}中存在这样的三项满足其条件,且这三项分别为数列{an}的第x,y,z项.
由（2）知数列{an+3}是以a1+3=4为首项,以2∕3为公比的等比数列.
所以an+3=4*（2／3）^(n-1),即an=4*（2／3）^(n-1)-3 （n∈N+）
又ax,ay,az构成等差数列,所以2ay=ax+az
化简后得：2*（2／3）^y-=（2／3）^x+（2／3）^Z ＞ 0
两边同时取2／3为底的对数得 ㏒2／3 2 + y = x + z ,所以x+z-y=㏒2／3 2
（注明：㏒2／3 2表示以2／3为底数,以2为真数的对数）
又x、y、z都是整数,所以x+z-y也是整数,而显然㏒2／3 2不是整数,这与x+z-y=㏒2／3 2是矛盾的.所以这样的x、y、z是不存在的.
即数列{an}中不存在有三项,使它们可以构成等差数列.