作业帮已知函数fx=1/3x^3+1/2ax^2+bx的两个极值点x1,x2若x1∈(-∞,-1],x2∈[2,+∞),则a+b的最大值是
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 02:40:36
已知函数fx=1/3x^3+1/2ax^2+bx的两个极值点x1,x2若x1∈(-∞,-1],x2∈[2,+∞),则a+b的最大值是
已知函数fx=1/3x^3+1/2ax^2+bx的两个极值点x1,x2
若x1∈(-∞,-1],x2∈[2,+∞),则a+b的最大值是
已知函数fx=1/3x^3+1/2ax^2+bx的两个极值点x1,x2若x1∈(-∞,-1],x2∈[2,+∞),则a+b的最大值是
答：
f(x)=x³/3+ax²/2+bx
求导：
f'(x)=x²+ax+b
极值点x1∈(-∞,-1],x2∈[2,+∞)
则x1和x2是方程x²+ax+b=0的两个解
根据韦达定理有：
x1+x2=-a
x1*x2=b
抛物线g(x)=x²+ax+b开口向上,对称轴x=-a/2
显然：-1<x=-a/2<2
所以：-4<a<2
f(0)=b<0
f(-1)=1-a+b>=0
f(2)=4+2a+b>=0
根据上述4个不等式,以a为x轴、b为y轴建立直角坐标系绘制如下图
满足条件的区间是三角形ABC内及AC、AB两线段,不包括BC线段（除端点B和C）
但A（-1,-2）,B（1,0）,C（-2,0）
a+b=k即直线b=-a+k
最大值在直线经过点B时取得K=1+0=1
所以：a+b的最大值为1
解析：∵函数f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+bx的两个极值点x1,x2
令f'(x)=x^2+ax+b
∵f(x)极值点x1∈(-∞，-1]，x2∈[2,+∞)
则x1和x2是方程x^2+ax+b=0的两个解
⊿=a^2-4b>0
X1=(-a-√(a^2-4b))/2，X2=(-a+√(a^2-4b))/2
(-a-√(a^2-4b))/2...
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解析：∵函数f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+bx的两个极值点x1,x2
令f'(x)=x^2+ax+b
∵f(x)极值点x1∈(-∞，-1]，x2∈[2,+∞)
则x1和x2是方程x^2+ax+b=0的两个解
⊿=a^2-4b>0
X1=(-a-√(a^2-4b))/2，X2=(-a+√(a^2-4b))/2
(-a-√(a^2-4b))/2<=-1==>√(a^2-4b)>=2-a==>a-b>=1 (1)
(-a+√(a^2-4b))/2>=2==>√(a^2-4b)>=4+a==>2a+b<=-4 (2)
(1),(2)联立解得a<=-1，b<=-2
∴a+b的最大值为-3
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