作业帮已知数列{an}中,a1=5,an=2an-1+2的n此方-1(n为大于等于2的正整数),是否存在实数y,使得数列{an+y\2的n次方}为等差数列?若存在,求出y的值.若不存在,请说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 12:50:45
已知数列{an}中,a1=5,an=2an-1+2的n此方-1(n为大于等于2的正整数),是否存在实数y,使得数列{an+y\2的n次方}为等差数列?若存在,求出y的值.若不存在,请说明理由
已知数列{an}中,a1=5,an=2an-1+2的n此方-1(n为大于等于2的正整数),是否存在实数y,
使得数列{an+y\2的n次方}为等差数列?若存在,求出y的值.若不存在,请说明理由
已知数列{an}中,a1=5,an=2an-1+2的n此方-1(n为大于等于2的正整数),是否存在实数y,使得数列{an+y\2的n次方}为等差数列?若存在,求出y的值.若不存在,请说明理由
a1=5 a1/2=5/2
an=2a(n-1)+2^n-1
an/2^n=a(n-1)/2^(n-1)-1/2^n
an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=-1/2^n
a(n-1)/2^(n-1)-a(n-2)/2^(n-2)=-1/2^(n-1)
…………
a2/2^2-a1/2^1=1/2^2
累加
an/2^n-a1/2=1/2^2+1/2^3+...+1/2^n
an/2^n=5/2+(1/4)[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)=5/2+1/2-1/2^n=3-1/2^n
an=3×2^n-1
a(n-1)=3×2^(n-1)-1
若数列{(an+y)/2^n}为等差数列,则数列后项与前项差为常数.
(an+y)/2^n-[a(n-1)+y]/2^(n-1)
=3+(y-1)/2^n-3-(y-1)/2^(n-1)
=(y-1)/2^n-2(y-1)/2^n
=(1-y)/2^n
分母2^n为变量,要(1-y)/2^n为常数,只有分子=0,即1-y=0 y=1 ,此时,数列公差为0
数列变为{(an+1)/2^n}
(a1+1)/2=(5+1)/2=3
数列{(an+1)/2^n}是首项为3,公差为0的等差数列,也是各项均为3的常数数列.