作业帮设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件:①当x∈R时,f(x)的最小值为0;②当x∈（0,5）时,x≤f(x)≤2│x-1│+1恒成立,（1）求f(1)的值；（2）求f(x)的解析式；（3）若f(x)在区间[m-1,m]上恒有|f(x)-x|
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 15:09:22
设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件:①当x∈R时,f(x)的最小值为0;②当x∈（0,5）时,x≤f(x)≤2│x-1│+1恒成立,（1）求f(1)的值；（2）求f(x)的解析式；（3）若f(x)在区间[m-1,m]上恒有|f(x)-x|
设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件:①当x∈R时,f(x)的最小值为0;②当x∈（0,5）时,x≤f(x)≤2│x-1│+1恒成立,
（1）求f(1)的值；
（2）求f(x)的解析式；
（3）若f(x)在区间[m-1,m]上恒有|f(x)-x|≤1,求实数m的取值范围.
设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件:①当x∈R时,f(x)的最小值为0;②当x∈（0,5）时,x≤f(x)≤2│x-1│+1恒成立,（1）求f(1)的值；（2）求f(x)的解析式；（3）若f(x)在区间[m-1,m]上恒有|f(x)-x|
（1）当x∈（0,5）时,x≤f(x)≤2│x-1│+1恒成立,所以令x=1,则有1≤f(1)≤2│1-1│+1=1,则有1≤f(1)≤1,可见f(1)=1
（2）从f(x)=ax^2+bx+c是个偶函数,当x∈R时,f(x)有最小值,可见,a是大于0的,而最小值是0,可见4ac-b^2/4a=0,而-b/2a=0,可见b=0,而c=0,所以f(x)=ax^2,而上面求得f(1)=1,代入得a=1,所以f(x)=x^2
(3)|f(x)-x|=|x^2-x|=|(x-1/2)^2-1/4|≤1,你可以画一下函数(x-1/2)^2-1/4的图像,是开口朝上的抛物线,顶点是（1/2,-1/4）,和X轴的交点是（0,0）和（1,0）,可见在x∈[0,1]时,(x-1/2)^2-1/4为负,最小值是-1/4,其绝对值就在0到1/4之间,是满足|(x-1/2)^2-1/4|≤1的,此时[m-1,m]要在0到1之间,所以,0《m-1《1且0《m《1,解得m=1
而在负无穷到0,和1到正无穷,(x-1/2)^2-1/4也就是x^2-x是大于0的,所以|x^2-x|=x^2-x≤1,
所以令x^2-x=1,解得x1=√5/2+1/2,x2=-√5/2+1/2,所以[m-1,m]应在-√5/2+1/2和√5/2+1/2之间,则-√5/2+1/2《m-1《√5/2+1/2且-√5/2+1/2《m-《√5/2+1/2,解得-√5/2+3/2《m《√5/2+1/2
综合m=1和-√5/2+3/2《m《√5/2+1/2,可知m的取值范围是[-√5/2+3/2,√5/2+1/2]