如图,三角形ABC内接于圆O,AB为直径,BD平分角ABC,交AC于点E,交圆O于点D将线段AE绕点A顺时针方向旋转,使点E落在BD的延长线上的点F处求证：AF是圆O的切线当CE:EA=3:5,EF=2根5时，求切线AF的长度

如图,三角形ABC内接于圆O,AB为直径,BD平分角ABC,交AC于点E,交圆O于点D将线段AE绕点A顺时针方向旋转,使点E落在BD的延长线上的点F处求证：AF是圆O的切线当CE:EA=3:5,EF=2根5时，求切线AF的长度
如图,三角形ABC内接于圆O,AB为直径,BD平分角ABC,交AC于点E,交圆O于点D
将线段AE绕点A顺时针方向旋转,使点E落在BD的延长线上的点F处
求证：AF是圆O的切线
当CE:EA=3:5,EF=2根5时，求切线AF的长度

如图,三角形ABC内接于圆O,AB为直径,BD平分角ABC,交AC于点E,交圆O于点D将线段AE绕点A顺时针方向旋转,使点E落在BD的延长线上的点F处求证：AF是圆O的切线当CE:EA=3:5,EF=2根5时，求切线AF的长度



（1）证明：连接AD
∵线段AE绕点A顺时针方向旋转,使点E落在BD的延长线上的点F处

∴AE=AF
∴△AEF是等腰三角形
∵AB为直径
∴∠ACB=∠ADB=90°

∴DE=DF,∠EAD=∠DAF,即∠EAF=2∠CAD
∵BD平分∠ABC
∴∠CBD=∠DBA,∠ABC=2∠CBD
∵∠CBD与∠CAD同弧CD
∴∠CBD=∠CAD
∴∠EAF=∠ABC
又∵∠ACB=90°
∴∠ABC+∠BAC=90°
∴∠EAF+∠BAC=90°,即∠BAF=90°
∴AF是圆O的切线


∵EF=2√5,DE=DF
∴DE=DF=√5
∵∠CBD=∠DBA,∠ACB=∠BAF=90°
∴△BCE∽△BAF
∴CE/AF=BE/BF
∵CE/AE=3/5,AE=AF
∴BE/BF=3/5,得BE=3√5
∴BF=5√5
∵∠BAF=∠ADF=90°
∴△BAF∽△ADF
∴AF/BF=DF/AF
∴AF^2=DFXBF=25
∴AF=5

1. 图画错了。
2. 由题设，AF = AE，所以角 AFE = 角 AEF = 角 BEC，且由 BD 平分角 ABC，知道角 ABE = 角 EBC，所以三角形 CEB 和三角形 AFB 相似，所以角 FAB 是直角，AF 是圆 O 的切线。
3. 设 AB = 10x，那么由角平分线性质知道 CB/BA = CE/EA = 3/5，所以 CB = 6x，所以 AC = 8x...

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1. 图画错了。
2. 由题设，AF = AE，所以角 AFE = 角 AEF = 角 BEC，且由 BD 平分角 ABC，知道角 ABE = 角 EBC，所以三角形 CEB 和三角形 AFB 相似，所以角 FAB 是直角，AF 是圆 O 的切线。
3. 设 AB = 10x，那么由角平分线性质知道 CB/BA = CE/EA = 3/5，所以 CB = 6x，所以 AC = 8x，CE = 3x，EA = 5x。利用上面证明的相似性质，知道 AF/AB = CE/CB，所以 AF = AB/2 = 5x，因此 BF = 5√5x，而 BE = 3√5x，所以 EF = 2√5x，利用题设知 x = 1，所以 AF = 5。

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