作业帮已知椭圆C:x^2/16+y^2/9=1,直线l经过点P并与椭圆C交于A,B两点,求当l的倾斜角变化时,弦中点的轨迹方程如上p(1,2)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 21:47:12
已知椭圆C:x^2/16+y^2/9=1,直线l经过点P并与椭圆C交于A,B两点,求当l的倾斜角变化时,弦中点的轨迹方程如上p(1,2)
已知椭圆C:x^2/16+y^2/9=1,直线l经过点P并与椭圆C交于A,B两点,求当l的倾斜角变化时,弦中点的轨迹方程
如上
p(1,2)
已知椭圆C:x^2/16+y^2/9=1,直线l经过点P并与椭圆C交于A,B两点,求当l的倾斜角变化时,弦中点的轨迹方程如上p(1,2)
设中点D(x,y)
(yA-yB)/(xA-xB)=k
xA+xB=2x,yA+yB=2y
x²/16+y²/9=1
9x²+16y²=144
9(xA)²+16(yA)²=144.(1)
9(xB)²+16(yB)²=144.(2)
(1)-(2):
9(xA+xB)*(xA-xB)+16(yA+yB)*(yA-yB)=0
9(xA+xB)+16(yA+yB)*(yA-yB)/(xA-xB)=0
9×2x+16×2y*k=0,即9x+16ky=0.(3)
k=(yA-yB)/(xA-xB)=(yP-yD)/(xP-xD)=(2-y)/(1-x)
带入(3)得9x+16y×(2-y)/(1-x)=0
(x-0.5)²/16+(y-1)²/9=25/576
弦中点的轨迹方程:(x-0.5)²/(25/36)+(y-1)²/(25/64)=1
点P在哪里？
设弦中点为M（x，y），交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．
∴（y2-y1）（x-1）=（x2-x1）（y-2），①
由x1216+y129=1，x2216+y229=1两式相减得(x1−x2) (x1+x2) 16+(y1−y2) (y1+y2) 9=0．
又x1+x2=2x，y1+y2=2y，
∴2x(x1−x2) 16=-2y(y1−y2) 9，②
由①②可得：9x2+16y2-9x-32y=0，③
当点M与点P重合时，点M坐标为（1，2）适合方程③，
∴弦中点的轨迹方程为：9x2+16y2-9x-32y=0．