已知关于x,y的方程组x^2+y^2-2x=0 kx-y-k=0 (x、y为未知数)设方程组两个不同的实数解为{x=x1 y=y1和{x=x2 y=y2 ,求证:(x1-x2)^2+(y1-y2)^2是一个常数.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/07 05:20:07

已知关于x,y的方程组x^2+y^2-2x=0 kx-y-k=0 (x、y为未知数)设方程组两个不同的实数解为{x=x1 y=y1和{x=x2 y=y2 ,求证:(x1-x2)^2+(y1-y2)^2是一个常数.
已知关于x,y的方程组x^2+y^2-2x=0 kx-y-k=0 (x、y为未知数)
设方程组两个不同的实数解为{x=x1 y=y1和{x=x2 y=y2 ,求证:(x1-x2)^2+(y1-y2)^2是一个常数.

已知关于x,y的方程组x^2+y^2-2x=0 kx-y-k=0 (x、y为未知数)设方程组两个不同的实数解为{x=x1 y=y1和{x=x2 y=y2 ,求证:(x1-x2)^2+(y1-y2)^2是一个常数.
证明:由kx-y-k=0得:y=kx-k
代入到x^2+y^2-2x=0 中,得:
x²-2x+k²x²-2k²x+k²=0
(1+k²)x²-(2+2k²)x+k²=0
则x1+x2=(2+2k²)/(1+k²),x1x2=k²/(1+k²)
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2
=(2+2k²)²/(1+k²)²-4×k²/(1+k²)
=[(2+2k²)²-4k²(1+k²)]/(1+k²)²=4/(1+k²)
∵(y1-y2)²=k²(x1-x2)²=4k²/(1+k²)
∴(x1-x2)^2+(y1-y2)^2= 4/(1+k²)+4k²/(1+k²)
=4
则(x1-x2)^2+(y1-y2)^2是一个常数4

方程组的两个解可以看做过圆心的任意斜率的直线与圆的两个交点,所求的距离的平方为圆直径的平方1,是定值