在边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上移动,但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等,在E,F移动过程中（1）求证：∠EAF=45°；（2）△ECF的周长是否变化?请说明理由.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 12:45:49

在边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上移动,但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等,在E,F移动过程中（1）求证：∠EAF=45°；（2）△ECF的周长是否变化?请说明理由.
在边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上移动,但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等,
在E,F移动过程中
（1）求证：∠EAF=45°；
（2）△ECF的周长是否变化?请说明理由.

在边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上移动,但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等,在E,F移动过程中（1）求证：∠EAF=45°；（2）△ECF的周长是否变化?请说明理由.
1、证明
∵正方形ABCD
∴AB＝BC＝CD＝DA,∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90
∵AH⊥EF,AE＝AE
∴△AHE全等于△ABE
∴∠BAE＝∠HAE
同理可证∠DAF＝∠HAF
∵∠DAB＝∠DAF+∠HAF+∠BAE+∠HAE＝90°
∴∠HAF +∠HAE＝45°
2、△ECF的周长不会变化
证明
延长CB,取BG＝DF
∵BG＝DF,AD＝AB
∴△ADF全等于△ABG
∴∠BAG＝∠DAF,BG＝DF,AG＝AF
∴∠EAG＝∠BAE+∠BAG＝∠BAE+∠DAF＝45°
∵AE＝AE
∴△EAF全等于△EAG
∴EF＝EG
∵EC＝BC-BE,FC＝DC-BF
∴EC+FC＝BC+DC-（BE+BF）
∴EG＝BE+BG＝BE+DF
∴EF＝BE+DF
∴EF+EC+FC＝（BE+DF）+BC+DC- （BE+DF）
＝BC+DC＝8

因此，当EF在移动过程中，∠EAF始终为45°角．（2）△ECF的周长不变．△ECF周长＝EC＋CF＋EH＋HF ＝EC＋CF＋BE＋DF ＝BC＋CD＝定长．

（1）证明：画出图形可知，△AHE和△ABE全等，因为E为中点，EF=EB AE为公共边 AH=AB 所以△AHE≌△ABE,所以∠HAE=∠BAE,而∠FAH=∠EAH,∠BAH=45度，所以∠EAF=45度。
（2）不会，因为因为要保持AH与AB相等。

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【提示】证明△EAH≌△EAB，△FAH≌△FAD．【答案】（1）∠EAF始终等于45°．证明如下：在△EAH和△EAB中， ∵ AH⊥EF，∴ ∠AHE＝90°＝∠B．又 AH＝AB，AE＝AE，∴ Rt△EAH≌Rt△EAB． ∴ ∠EAH＝∠EAB．同理 ∠HAF＝∠DAF．∴ ∠EAF＝∠EAH＋∠FAH ＝∠EAB＋∠FAD＝ ∠BAD＝45°．因此，当EF在移动过程中，∠EAF始终为45°角．（2）△ECF的周长不变．证明如下： ∵ △EAH≌△EAB， ∴ EH＝EB．同理 FH＝FD． ∴ △ECF周长＝EC＋CF＋EH＋HF ＝EC＋CF＋BE＋DF ＝BC＋CD＝定长．

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