设二次函数y=x²+px+q的图像与x轴的正半轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA:OB:OC=1:2:3（1）求解析式（2）若D是A,B间抛物线弧上的一点,求四边形ABCD面积的最大值

设二次函数y=x²+px+q的图像与x轴的正半轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA:OB:OC=1:2:3（1）求解析式（2）若D是A,B间抛物线弧上的一点,求四边形ABCD面积的最大值
设二次函数y=x²+px+q的图像与x轴的正半轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA:OB:OC=1:2:3
（1）求解析式（2）若D是A,B间抛物线弧上的一点,求四边形ABCD面积的最大值

设二次函数y=x²+px+q的图像与x轴的正半轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA:OB:OC=1:2:3（1）求解析式（2）若D是A,B间抛物线弧上的一点,求四边形ABCD面积的最大值
依题意可以设A（t,0）,B（2t,0）,C（0,3t）
显然 x=t,x=2t为方程的两个根
所以
t+2t = -p
t x 2t = q
又抛物线过C,代入得到
q = 3t
解上述方程组得到
p = -9/2,q=9/2
所以抛物线方程为
y=x²- 4.5x+4.5
ABCD的面积等于三角形ABC的面积与三角形ABD的面积和
三角形ABC的面和等于
S1 = t x 3t / 2 = 27/8
三角形ABD的面积,显然当D为抛物线顶点时,ABD面积最大
此时,将 -p/2 = 9/4 代入抛物线,得y=-9/16
S2 = 3/2 x 9/16 / 2 = 27/64
所以四边形ABCD面积最大值为
S1+S2 = 243/64