作业帮A,B是椭圆x^2+y^2/2=1上的点,O为原点,OA与OB斜率的乘积等于-2,向量OC=向量OA+向量OB.（1）求证：点C在另一个椭圆上：（2）求四边形OABC的面积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 03:47:02
A,B是椭圆x^2+y^2/2=1上的点,O为原点,OA与OB斜率的乘积等于-2,向量OC=向量OA+向量OB.（1）求证：点C在另一个椭圆上：（2）求四边形OABC的面积
A,B是椭圆x^2+y^2/2=1上的点,O为原点,OA与OB斜率的乘积等于-2,向量OC=向量OA+向量OB.
（1）求证：点C在另一个椭圆上：（2）求四边形OABC的面积
A,B是椭圆x^2+y^2/2=1上的点,O为原点,OA与OB斜率的乘积等于-2,向量OC=向量OA+向量OB.（1）求证：点C在另一个椭圆上：（2）求四边形OABC的面积
(1)设A为(x1,y1),B为(x2,y2)
KA=y1/x1,KB=y2/x2
KA*KB=y1y2/x1x2=-2
y1y2= -2x1x2
向量OC=向量OA+向量OB=(x1+x2,y1+y2)
y²=(y1+y2)²=(y1²+y2²+2y1y2)=(4-2x1²-2x2²-4x1x2)
=(4-2(x1+x2)²)=4-2x²
2x²+y²=4
x²/2+y²/4=1
所以点C在x²/2+y²/4=1的椭圆上
(2)因为向量OC=向量OA+向量OB
所以四边形OABC为平行四边形
平行四边形OABC以对角线AB平分成2个全等三角形
S平行四边形OABC=2S△OAB=|OA|*|OB|*sin∠AOB
|OA|*|OB|=OA*OB/cos∠AOB
S平行四边形OABC=2S△OAB=|OA|*|OB|*sin∠AOB
=OA*OB*tan∠AOB
=(x1x2+y1y2)tan∠AOB
OA与OB斜率的乘积等于-2＜0
所以∠xOA,∠xOB一个在一三象限,另一个在二四象限
设∠xOA在一三象限,∠xOB在二四象限
tan∠xOA=KA=y1/x1＞0
tan∠xOB=-KB=y2/x2＜0
tan∠AOB=tan(∠xOA-∠xOB)=(tan∠xOA-tan∠xOB)/(1+tan∠xOA*tan∠xOB)
=(KA-KB)/(1+KA*KB)=(y1/x1-y2/x2)/(1+y1y2/x1x2)
=(x2y1-x2y1)/(x1x2+y1y2)
S平行四边形OABC=2S△OAB=|OA|*|OB|*sin∠AOB
=|OA*OB*tan∠AOB|
=|(x1x2+y1y2)* (x2y1-x2y1)/(x1x2+y1y2)|
= | x1y2-x2y1|
|x1y2-x2y1|=√(x1y2-x2y1)²= √(x1²y2²-2x1x2y1y2+x2²y1²)
=√(y2²-y1²y2²/2+y1²y2²+y1²-y1²y2²/2)
=√(y1² +y2²)
y1y2= -2x1x2
y1y2= -2√(1-y1²/2)（1-y2²/2）
=-2√(1-(y1²+y2²)/2+y1²y2²/4)
y1²y2²=4-2(y1²+y2²)+y1²y2²
y1²+y2²=2
所以S平行四边形OABC=√(y1² +y2²)=√2
第二小题过程答案是否正确我也说不准,仅供参考吧
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