设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为f1,f2,A是椭圆上一点,AF2垂直F1F2,原点O到AF1的距离为1/3|OF1|,求证（1）a=根号2b.(2)Q1,Q2是椭圆上两动点,OQ1垂直0Q2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求D

设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为f1,f2,A是椭圆上一点,AF2垂直F1F2,原点O到AF1的距离为1/3|OF1|,求证（1）a=根号2b.(2)Q1,Q2是椭圆上两动点,OQ1垂直0Q2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求D
设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为f1,f2,A是椭圆上一点,AF2垂直F1F2,原点O到AF1的距离为
1/3|OF1|,求证（1）a=根号2b.(2)Q1,Q2是椭圆上两动点,OQ1垂直0Q2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求D的轨迹

设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为f1,f2,A是椭圆上一点,AF2垂直F1F2,原点O到AF1的距离为1/3|OF1|,求证（1）a=根号2b.(2)Q1,Q2是椭圆上两动点,OQ1垂直0Q2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求D
（1）（设c=√(a^-b^),AF2垂直F1F2,∴AF2：x=c,
A是椭圆上一点,取A(c,b^/a),
AF1:y=[b^/(2ac)](x+c),
原点O到AF1的距离为[b^/(2a)]/√[1+b^4/(4a^c^)]=b^c/√[4a^c^+b^4]=c/3,
∴3b^=√[4a^c^+b^4],
平方得9b^4=4a^(a^-b^)+b^4,
整理得4a^4-4a^b^-8b^4=0,
a^4-a^b^-2b^4=0,
(a^+b^)(a^-2b^)=0,a>b>0,
∴a^=2b^,a=b√2.
(2)椭圆x^/(2b^)+y^/b^=1,①
设OQ1：y=kx,②
代入①*2b^,x^(1+2k^)=2b^,
x^=2b^/(1+2k^),
x=(土b√2）/√（1+2k^),
∴Q1((土b√2）/√（1+2k^),(土bk√2）/√（1+2k^)),
以-1/k代k,得Q2((土bk^√2/√(k^+2),(干bk√2/√(k^+2)),
∴Q1Q2^=[b√2/√(1+2k^)-bk^√2/√(k^+2)]^+[bk√2/√(1+2k^)+bk√2/√（k^+2)]^
=2b^(1+k^)/(1+2k^)+2b^(k^4+k^)/(k^+2)
=2b^[(1+k^)(2+k^)+(k^+k^4)(1+2k^)]/[(1+k^)(1+2k^)]
=2b^[2+3k^+k^4
+k^+3k^4+2k^6]/[(1+k^)(1+2k^)]
=2b^(2+4k^+4k^4+2k^6)/[(1+k^)(1+2k^)]
=4b^(1+k^+k^4)/(1+2k^),
OQ1^=2b^(1+k^)/(1+2k^),
OQ2^=2b^(k^+1)/(k^+2),
∵OD⊥Q1Q2,
∴OD*Q1Q2=OQ1*OQ2,
∴OD^=OQ1^*OQ2^/Q1Q2^=b^(1+k^)^/[(k^+2)(1+k^+k^4)],?

这题算肯定是不好算。可以取个巧，证明1反推----
a^2=2b^2,c=b,然后就很容易发现A在（0，c）或（0，-c）
于是设A(X1,Y1)把已知的全部列成方程，AF1=1/3|OF1|也列出方程哦。
得没时间就不要算了，反正是证明题，直接得 a=根号2 b。
（2）好难算，方程列全出来，现在算不来了。
画图试试，大概是个圆一样，半径比b小，取个特殊情...

全部展开

这题算肯定是不好算。可以取个巧，证明1反推----
a^2=2b^2,c=b,然后就很容易发现A在（0，c）或（0，-c）
于是设A(X1,Y1)把已知的全部列成方程，AF1=1/3|OF1|也列出方程哦。
得没时间就不要算了，反正是证明题，直接得 a=根号2 b。
（2）好难算，方程列全出来，现在算不来了。
画图试试，大概是个圆一样，半径比b小，取个特殊情况，d在y上，Q1Q2对称的情况简单算一下。

当然你自己要好好算啦，只是告诉你一个答题技巧。能拿点分，但是对掌握这部分知识帮助不大。

收起

Ⅱ)设点D的坐标为(x0，y0) 当y0≠0时，由OD⊥Q1Q2知，直线Q1Q2的斜率为 ，所以直线Q1Q2的方程为
点Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)的坐标满足方程组 将(1)式代入(2)式，得x2+2(kx+m)2=2b2 整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2b2=0
于是 （3）
由(1)式得y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=...

全部展开

Ⅱ)设点D的坐标为(x0，y0) 当y0≠0时，由OD⊥Q1Q2知，直线Q1Q2的斜率为 ，所以直线Q1Q2的方程为
点Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)的坐标满足方程组 将(1)式代入(2)式，得x2+2(kx+m)2=2b2 整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2b2=0
于是 （3）
由(1)式得y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+k2
　 （4）
由OQ1⊥OQ2知x1x2+y1y2=0，将(3)式和(4)式代入得
3m2=2b2(1+k2) 将 代入上式，整理得 当y0=0时，直线Q1Q2的程为x=x0，Q1(x1,y1)，Q2(x2,y2)的坐标满足方程组
所以 由OQ1⊥OQ2知x1x2+y1y2=0，即
解得 ,这时，点D的坐标仍满足 　综上，点D的轨迹方程为

收起