作业帮1、x>0,y>0,求证：1/2(x+y)^2 + 1/4(x+y)≥ x倍的根号y + y倍的根号x2、a,b属于正实数,且a+b=1,求证：(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥25/23、a,b属于正实数,且(a+b)(a^2+b^2-1)=2,求证:a+b≤2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 18:05:55
1、x>0,y>0,求证：1/2(x+y)^2 + 1/4(x+y)≥ x倍的根号y + y倍的根号x2、a,b属于正实数,且a+b=1,求证：(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥25/23、a,b属于正实数,且(a+b)(a^2+b^2-1)=2,求证:a+b≤2
1、x>0,y>0,求证：1/2(x+y)^2 + 1/4(x+y)≥ x倍的根号y + y倍的根号x
2、a,b属于正实数,且a+b=1,求证：(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥25/2
3、a,b属于正实数,且(a+b)(a^2+b^2-1)=2,求证:a+b≤2
1、x>0,y>0,求证：1/2(x+y)^2 + 1/4(x+y)≥ x倍的根号y + y倍的根号x2、a,b属于正实数,且a+b=1,求证：(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥25/23、a,b属于正实数,且(a+b)(a^2+b^2-1)=2,求证:a+b≤2
1.告诉你一件有趣的事,第一题我做过,当时花了1个多小时,总算给我做出来的,均值不等式就怕你想不到.
方法I (x+y)^2≥ 4xy 1/2(x+y)^2 + 1/4(x+y)≥2xy+1/4(x+y)
= xy+1/4x+xy+1/4y xy+1/4x≥ xsqrt(y) xy+1/4y≥ ysqrt(x)
所以原式≥ xsqrt(y) +ysqrt(x) 当 x=y=1/4 等号成立
方法II 分析法 原不等式即为
1/2(x+y)(x+y+1/2)≥sqrt(xy)(sqrt(x)+sqrt(y))
x+y≥ 2sqrt(xy) 即证 x+y+1/2≥ (sqrt(x)+sqrt(y))
移项整理 即证明 (sqrt(x)-1/2)^2+(sqrt(y)-1/2)^2≥0显然成立
2.由于楼上已经有了详细的论述,不多说了,介绍一种方法吧
你可以三角代换 令 a=(cosx)^2 b=(sinx)^2
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2=4+(cosx)^4+(sinx)^4+1/(sinx)^4+1/(cosx)^4
=4+[(cosx)^4+(sinx)^4](1+1/(cosx)^4*(sinx)^4)
≥4+2cosx^2sinx^2(1+1/(cosx)^4*(sinx)^4)
=4+2(cosx^2sinx^2+1/cosx^2sinx^2)
cosx^2sinx^2=1/4(sin2x)^2 可知
4+2(cosx^2sinx^2+1/cosx^2sinx^2)≥4+2（1/4+4）=25/2
当a=1/2 b=1/2时等号成立
3.a^2+b^2≥0.5(a+b)^2
2=(a+b)(a^2+b^2-1)≥(a+b)(0.5(a+b)^2-1)
令 a+b=x 2≥0.5x^3-x x^3-2x-4≤0 (x-2)(x^2+2x+2)≤0
因为 x^2+2x+2>0 所以x-2≤0 x≤2 a+b≤2
这题反证法你也可以试试
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
=a^2+1/a^2+2 +b^2+1/b^2+2
=(a^2+b^2) + (1/a^2+1/b^2) +4
>=0.5*(a+b)^2 +0.5*(1/a +1/b)^2 +4
=0.5+ 0.5*(1/a +1/b)^2+4
=4.5+0.5*(1/a+1/b)^2
因为ab<=0.25*(a+b)^2=0.25,
所以1/a+1/b=(a+b)/ab=1/ab >=4；
(1/a +1/b)^2>=16
所以(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=4.5+0.5*16=25/2
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
=a^2+1/a^2+2 +b^2+1/b^2+2
=(a^2+b^2) + (1/a^2+1/b^2) +4
>=0.5*(a+b)^2 +0.5*(1/a +1/b)^2 +4
=0.5+ 0.5*(1/a +1/b)^2+4
=4.5+0.5*(1/a+1/b)^2