已知a+b+c=3.a平方+b平方+c平方=29.a立方+b立方+c立方=45求a四次+b四次+c四次

已知a+b+c=3.a平方+b平方+c平方=29.a立方+b立方+c立方=45求a四次+b四次+c四次
已知a+b+c=3.a平方+b平方+c平方=29.a立方+b立方+c立方=45求a四次+b四次+c四次

已知a+b+c=3.a平方+b平方+c平方=29.a立方+b立方+c立方=45求a四次+b四次+c四次
a+b+c=3
a²+b²+c²=29
a³+b³+c³=45
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)=3²=9
∴29+2(ab+ac+bc)=9
∴ab+ac+bc=-10
(a+b+c)³=a³+b³+c³+3(a²b+a²c+ab²+b²c+ac²+bc²)+6abc
∴3³=a³+b³+c³+3ab(a+b+c)+3ac(a+b+c)+3bc(a+b+c)-3abc
27=45+9(ab+ac+bc)-3abc
3abc=45+9×(-10)-27=-72
∴abc=-24
(a³+b³+c³)(a+b+c)=a4+b4+c4+a³(b+c)+b³(a+c)+c³(a+b)=45×3=135
∴a4+b4+c4=135-[a³(b+c)+b³(a+c)+c³(a+b)]
=135-[a²(ab+ac)+b²(ab+bc)+c²(ac+bc)]
=135-[ab(a²+b²)+ac(a²+c²)+bc(b²+c²)]
=135-[ab(29-c²)+ac(29-b²)+bc(29-a²)]
=135-[29(ab+ac+bc)-(abc²+ab²c+a²bc)]
=135-[29×(-10)-abc(a+b+c)]
=135-[-290-(-24)×3]
=135+290-72=353