求所有正整数对（m,n）,使得m²-4n和n²-4m均是完全平方数.最好有分析和思路.2013.9.12

求所有正整数对（m,n）,使得m²-4n和n²-4m均是完全平方数.最好有分析和思路.2013.9.12
求所有正整数对（m,n）,使得m²-4n和n²-4m均是完全平方数.
最好有分析和思路.
2013.9.12

求所有正整数对（m,n）,使得m²-4n和n²-4m均是完全平方数.最好有分析和思路.2013.9.12
m²-4n和n²-4m都是平方数,
设n²-4m=4c^2--------------------------(1) (不是n²-4m=c^2)
m,n是正整数,显然m²-4n0,p为正整数,所以m>p,∴m≠1,
所以m=4,n=p(m-p)=2*(4-2)=4
当c^2=4时,m1+m2=5,m1*m2=0
所以m1=0,m2=5
又因为n=p(m-p)>0,p为正整数,所以m>p,∴m≠1,
所以m=5,n=p(m-p)=2*(5-2)=6
m,n 是对称,所以同样可以证明 m=6,n=5
综上所述,(m,n)为(4,4)、(5,6)或（6,5)

因为m²-4n和n²-4m均是完全平方数
m^2-4n=u^2 式1
n^2-4m=v^2 式2
式1-式2
(m-2)^2-(n-2)^2=u^2-v^2
(m+n-4)(m-n)=(u+v)(u-v)
m+n-4=u+v m-n=u-v u=m-2 v=n-2
m^2-4n=(m-2)^2=m^2-4m+4 m=n+1
n^2-4m=(n-2)^2=n^2-4n+4 n=m+1
m=n 满足条件

既然m²-4n和n²-4m都是平方数，而且显然m²-4n不妨设m²-4n=(m-k)²，(k为正整数)
-4n=-2mk+k²
n=k(2m-k)/4
因此n²-4m=k²(2m-k)²/4-4m
因为n是正整数
所以k(2m-k)能4整除

全部展开

既然m²-4n和n²-4m都是平方数，而且显然m²-4n不妨设m²-4n=(m-k)²，(k为正整数)
-4n=-2mk+k²
n=k(2m-k)/4
因此n²-4m=k²(2m-k)²/4-4m
因为n是正整数
所以k(2m-k)能4整除
所以k必须是偶数
不妨设k=2p，(p为正整数)
则n²-4m=(p(m-p))²-4m=c²
p²m²-(2p³+4)m+p^4-c²=0
以上一元二次方程有实数根，设为m1、m2
则m1+m2=2p+4/p²
m1*m2=p²-c²/p²
因为m为正整数
所以4/p^2必为正整数
故p=1²
p=1时，m1+m2=6，m1*m2=1-c
因为c≥0，所以m1*m2=1-c²≤0
故无解
p=2时，m1+m2=5，m1*m2=4-c²/4
因为c≥0
所以c=0或2
当c=0时，m1+m2=5，m1*m2=4
解之得m1=1，m2=4
因为n=p(m-p)>0，所以m>p
所以m=4，n=4
当c=2时，m1+m2=5，m1*m2=0
所以m1=0，m2=5
又因为n=b(m-b)>0
所以m=5，n=6
综上所述，(m,n)为(4,4)、(5,6)或（6,5)

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