已知a:b=c:d,求证:ab+cd为a²+c²及b²+d²的比例中项.

已知a:b=c:d,求证:ab+cd为a²+c²及b²+d²的比例中项.
已知a:b=c:d,求证:ab+cd为a²+c²及b²+d²的比例中项.

已知a:b=c:d,求证:ab+cd为a²+c²及b²+d²的比例中项.
由a／b=c／d,∴①d=bc／a,将①代入﹙ab＋cd﹚²=﹙ab＋cbc／a﹚²=b²﹙a²＋c²﹚²／a²,将①代入﹙a²＋c²﹚﹙b²＋d²﹚=﹙a²＋c²﹚[﹙b²＋bc／a﹚]=b²﹙a²＋c²﹚／a²,∴﹙ab＋cd﹚²=﹙a²＋c²﹚﹙b²＋d²﹚,∴ab＋cd是a²＋c与²b²＋d²的比例中项.

a:b=c:d，所以ad=bc，（ab+cd）²=a²b²+2abcd+c²d²=a²b²+c²d²+2b²c²，(a²+c²)(b²+d²)=a²b²+a²d²+b²c²+c²d...

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a:b=c:d，所以ad=bc，（ab+cd）²=a²b²+2abcd+c²d²=a²b²+c²d²+2b²c²，(a²+c²)(b²+d²)=a²b²+a²d²+b²c²+c²d²=a²b²+c²d²+2b²c²，所以（ab+cd）²=(a²+c²)(b²+d²)，即ab+cd为a²+c²及b²+d²的比例中项。

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