如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=120°,∠B=∠E=90°,AB=BC,AE=DE,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为多少

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 01:38:00

如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=120°,∠B=∠E=90°,AB=BC,AE=DE,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为多少
如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=120°,∠B=∠E=90°,AB=BC,AE=DE,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为多少

如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=120°,∠B=∠E=90°,AB=BC,AE=DE,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为多少
∠AMN+∠ANM=120°
延长AB到A'使BA'=AB,
延长AE到A''使AE=EA'',
那么A'A''与BC,ED的交点即为所求的M和N,
∠AMN+∠ANM＝2∠A'+2∠A''=2(180-∠BAE)=120°
原来楼主要解释这一句哈：
△AA‘M中；AB=BA’；MB⊥AA'；
因此MB是垂直平分线；故此：
角MA’A=∠MAA‘；
同理可得：NE是AA’‘的垂直平分线；
∠NAA''=∠NA’‘A；
而∠A’AA‘’=120°；
所以∠AA‘A’‘=∠AA’‘A=30°；
所求的两个角：∠AMN+∠ANM＝2∠A'+2∠A''=2(180-∠BAE)=120°

楼主没有发具体图，则按照一般情况来考虑。

如图一

其中，延长AB至Q，并使BQ=BA；延长AE至P，并使EP=EA。

则可知NA=NP，MA=MQ。

则△AMN周长=PN+NM+MQ

PQ为定点，由两点间线段最短可知，最短时PNMQ在同一线段上

如图二

此时∠Amn+∠Anm=180°-∠nAm

由∠P=∠PAn，∠Q=∠QAm，∠PAQ=120°

有∠nAm+∠P+∠Q=120°

由△PAQ内角和180°

有∠nAm+2∠P+2∠Q=120°

有∠nAm=∠P+∠Q=60°

【∴∠Amn+∠Anm=180°-∠nAm=120°】

附注：此题只根据给出条件做，答案可能不够严谨

因为可能出现极端情况时，PQ与DE或BC其中一边不相交。（凹五边形也仍属于五边形范畴）

如图三

此时如仍按上面作法，需证明何时条件成立，即何时PQ与DE及BC同时相交（和AB与AE比值范围相关）

如不成立时需进一步讨论AB与AE比值范围，以及相应的其他做法，得到与AB与AE比值相关的对应度数。

不过本人估计这道题应该属于初中数学的范畴，一般不会考虑这种特殊情况，所以只给出一般答案。

∠AMN+∠ANM+60