椭圆C：x^2/2+y^2=1,左右焦点F1、F2,A、B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于P、Q两点,线段AB的中点M在直线l:x=-1/2上,求向量F2P×向量F2Q的取值范围.

椭圆C：x^2/2+y^2=1,左右焦点F1、F2,A、B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于P、Q两点,线段AB的中点M在直线l:x=-1/2上,求向量F2P×向量F2Q的取值范围.
椭圆C：x^2/2+y^2=1,左右焦点F1、F2,A、B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于P、Q两点,线段AB的中点M在直线l:x=-1/2上,求向量F2P×向量F2Q的取值范围.

椭圆C：x^2/2+y^2=1,左右焦点F1、F2,A、B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于P、Q两点,线段AB的中点M在直线l:x=-1/2上,求向量F2P×向量F2Q的取值范围.
椭圆C：x^2/2+y^2=1右焦点为F2(1,0),
设M(-1/2,m);A(-1/2+p,m+q),B(-1/2-p,m-q)在椭圆x^2/2+y^2=1上,
∴(-1/2+p)^2/2+(m+q)^2=1,
(-1/2-p)^2/2+(m-q)^2=1,
相减得-p+4mq=0,
∴AB的斜率=q/p=1/(4m),
∴线段AB的中垂线PQ的斜率=-4m,
∴PQ的方程是y-m=-4m(x+1/2),即y=m(-4x-1),①
代入椭圆方程得x^2+2m^2*(16x^2+8x+1)=2,
整理得(1+32m^2)x^2+16m^2*x+2m^2-2=0,
△/4=64m^4-(1+32m^2)(2m^2-2)=62m^2+2>0,
M在椭圆内,∴1/8+m^2