如图在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,E为AC上一点,已知BC=BE+AE,求证BE平分∠ABC知道平分求线段很简单,关键是知道线段关系求平分,学生问的没回答出来啊.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 04:25:28

如图在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,E为AC上一点,已知BC=BE+AE,求证BE平分∠ABC知道平分求线段很简单,关键是知道线段关系求平分,学生问的没回答出来啊.
如图在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,E为AC上一点,已知BC=BE+AE,求证BE平分∠ABC
知道平分求线段很简单,关键是知道线段关系求平分,学生问的没回答出来啊.

如图在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,E为AC上一点,已知BC=BE+AE,求证BE平分∠ABC知道平分求线段很简单,关键是知道线段关系求平分,学生问的没回答出来啊.
取BC的中点为D,延长DA至F,使∠FBC＝80°,作∠ABC的平分线交FC于G,令BG交AC于H,延长CA交FB于M.
∵AB＝AC、BD＝CD,∴AD⊥BC,∴FD是BC的垂直平分线,∴FB＝FC,
∴∠FCB＝∠FBC=80°.
∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠ACB,又∠BAC＝100°,∴∠ABC＝∠ACB＝40°.
∵∠CBG＝∠ABG、∠ABC＝40°,∴∠CBG＝20°,
∴∠BGC＝180°－∠CBG－∠FCB＝180°－20°－80°＝80°,
∴∠FGB＝∠FCB＋∠CBG＝80°＋20°＝100°.
∵∠AHB＝∠CBG＋∠ACB＝20°＋40°＝60°、∠HBF＝∠FBC－∠CBG＝80°－20°＝60°,
∴∠AHB＝∠HBF,又∠BAH＝∠FGB＝100°,∴△BAH∽△FGB,
∴AH/BG＝BH/FB,∴BG/FB＝AH/BH.
∵∠BCG＝∠BGC＝80°,∴BG＝BC,∴BC/FB＝AH/BH.
∵∠FCB＝80°、∠ACB＝40°,∴∠FCM＝40°,∴∠FCM＝∠BCM,
∴由三角形内角平分线定理,有：BM/FM＝BC/FC,而FB＝FC,∴BM/FM＝BC/FB,
∴BC/FB＝（BC－BM）/（FB－FM）＝（BC－BM）/BM.
由BC/FB＝AH/BH、BC/FB＝（BC－BM）/BM,得：（BC－BM）/BM＝AH/BH.
∵∠MBH＝∠MHB＝60°,∴△MBH是等边三角形,∴BM＝BH＝MH.
∴由（BC－BM）/BM＝AH/BH,得：（BC－BH）/BH＝AH/BH,∴BC－BH＝AH,
∴BC＝AH＋BH,又BC＝AE＋BE,∴AH＋BH＝AE＋BE.
∵E、H都在线段AC上,∴H的位置只能是下列的情形之一：
①H在A、E之间；②E在A、H之间；③E、H重合.
一、若H在A、E之间,则AE＋BE＝AH＋HE＋BE＞AH＋BH,与AH＋BH＝AE＋BE矛盾,
　　∴H不能在A、E之间.
二、若E在A、H之间,则AH＋BH＝AE＋EH＋BH＞AE＋BE,与AH＋BH＝AE＋BE矛盾,
　　∴E不能在A、H之间.
∵E不能在A、H之间,H也不能在A、E之间,∴E、H重合,而BH平分∠ABC,∴BE平分∠ABC.
我叼爆了~
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