实数a,b,c满足a+2b+2c=1,求ab+ac+2bc的最大值用柯西不等式解

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 13:35:06

实数a,b,c满足a+2b+2c=1,求ab+ac+2bc的最大值用柯西不等式解
实数a,b,c满足a+2b+2c=1,求ab+ac+2bc的最大值
用柯西不等式解

实数a,b,c满足a+2b+2c=1,求ab+ac+2bc的最大值用柯西不等式解
ab+ac+2bc的最大值可以在a、b、c均为正数时取得.
由a+2b+2c=1得 b+c=(1-a)/2,
由柯西不等式(均值不等式)得 bc≤[(b+c)/2]² =[(1-a)/4]²,
所以,ab+ac+2bc=a(b+c)+2bc
≤a(1-a)/2+2[(1-a)/4]²
=(1-a)[a/2+(1-a)/8]
=3/8·(1-a)(a+1/3)
≤3/8·{[(1-a)+(a+1/3)]/2}² (柯西不等式)
=1/6
所以在 1-a=a+1/3 ,b=c=(1-a)/4 即 a=1/3,b=c=1/6 时
ab+ac+2bc有最大值为 1/6.

分析：分析结构，应该跟平方有关。

ab+bc+ac≤a的平方+b的平方+c的平方
因为xy+yz+zx≤x^2+y^2+z^2
所以，3(xy+yz+zx)≤(x+y+z)^2
所以，3(a*2b+2b*2c+2c*a)≤(a+2b+2c)^2
即6（ab+ac+2bc)≤1
所以ab+ac+2bc≤1/6
希望能帮助到你。

由柯西不等式知
ab+ac+2bc<=√(a^2+a^2)(b^2+c^2)+√(b^2+c^2)(b^2+c^2),当且仅当b=c时等号成立。将b=c,a=1-4b带入，得ab+ac+2bc=2b(1-3b)=-6(b-1/6)^2+1/6,所以当b=1/6时，有最大值1/6。殊途同归，一楼的方法更符合你的要求，我的方法你也可以研究研究。

那时高中的知识给忘了。

设非零实数a、b、c满足(a-b)^2=4(b-c)*(c-a),求(a+b)/c 已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0 求[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]的值要简洁一点,(1) 已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0 求[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]的值（2）已知abcd为正整数已知实数a,b,c满足|a-2b|+√(3b+c)+c^2+2c=-1 求a+b+c 已知实数a.b.c.满足/a-b/+(√2b+c)+c^2=c-1/4,则a(b+c)= 求详解已知实数a,b,c,满足a+b+c=2,abc=4,求|a|+|b|+|c|的最小值已知实数a、b、c满足2|a-1|+根号（2b+c）+c的平方-c+1/4=0,求a+b+c的值. 己知实数a、b、c满足1/2|a-b|+根号(2b+c)+(c-1/2)平方=0求a(b+C)的值已知实数a.b.c满足a-b的绝对值= -2根号2b+c-(c-2分之1)的平方,求a(b+c)的值已知非零实数a、b、c满足a^2+b^2+c^2=1,且a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3,求a+b+c的值. 已知非零实数a,b,c满足a^2+b^2+c^2=1,且a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3,求a+b+c的值已知实数a、b、c满足1/2|a-b|+根号2b+c+c²-c+1/4=0,求a(b+c)的值已知实数a、b、c满足1/2|a-b|+根号2b+c+c²-c+1/4=0,求a(b+c)的值. 已知实数a,b,c满足｜a+1｜+（b-5）^2+(25c^2+10c+1)=0,求(abc)^251/(a^11b^8c^ 已知实数a、b、c满足/a+1/+(5b-1)^2+(c^2+10c+25)=0,求(abc)^251/(a^11b^8c^7) 已知实数a.b.c满足√a-1+|b+1|+c^2-4c+4=0,求a^100+b^100+c^3的值已知实数a,b,满足1/2|a-b|+√2b+c+（c-1/2)²=0,求a（b+c）的值已知实数a、b、c满足a+b=6，ab=c^2+9，求a^2010 - b^2011。若实数a、b、c满足根号a+根号(b-1)+根号(c-2)=1/2(a+b+c),求代数式(a-bc)^3的值. 已知a,b,c是正实数,满足a^2=b(b+c),b^2=c(c+a).证明:1/a+1/b=1/c