设a,b,c∈R,a+b+c等于o,abc>0,求证1/a+1/b+1/c<O还有一题:比较1+2x的四次方与2x的平方+x的平方的大小?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 06:58:46

设a,b,c∈R,a+b+c等于o,abc>0,求证1/a+1/b+1/c<O还有一题:比较1+2x的四次方与2x的平方+x的平方的大小?
设a,b,c∈R,a+b+c等于o,abc>0,求证1/a+1/b+1/c<O
还有一题:比较1+2x的四次方与2x的平方+x的平方的大小?

设a,b,c∈R,a+b+c等于o,abc>0,求证1/a+1/b+1/c<O还有一题:比较1+2x的四次方与2x的平方+x的平方的大小?
1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ac)/abc
∵abc>0
∴原题即证明ab+bc+ac<0
a+b+c=0
∴ac+bc+c^2=0
ab+ac+a^2=0
ab+bc+b^2=0
三式相加
2(ab+bc+ac)=-(a^2+b^2+c^2)≤0,当且仅当a=b=c=0时取等号
而abc>0
∴a=b=c=0不成立
∴a^2+b^2+c^2<0
∴2(ab+bc+ac)<0
∴ab+bc+ac<0
显然,原命题得到了证明

abc>0→a,b,c同正或两负
而a+b+c=0,不可能同正
所以不妨设a,b<0,c>0
由c=-(a+b)
易知|c|>|a|,|c|>|b|
所以1/|c|<1/|a|
由于1/a<0
则1/c+1/a<0
又1/b<0
所以1/a+1/b+1/c<O