作业帮已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1 （1） 当k=1,求函数f（x）最大值 （2）若函数f（x）无零点,求正实数k的取值范围?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 23:33:07
已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1 （1） 当k=1,求函数f（x）最大值 （2）若函数f（x）无零点,求正实数k的取值范围?
已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1 （1） 当k=1,求函数f（x）最大值
（2）若函数f（x）无零点,求正实数k的取值范围?
已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1 （1） 当k=1,求函数f（x）最大值 （2）若函数f（x）无零点,求正实数k的取值范围?
（1）分析：（1）求出导函数，通过对k的讨论，判断出导函数的符号，列出x，f′（x），f（x）变换情况，求出函数f（x）的最大值．
（1）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．
f′（x）=1/(x+1)−1=－x/x+1，
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
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（1）分析：（1）求出导函数，通过对k的讨论，判断出导函数的符号，列出x，f′（x），f（x）变换情况，求出函数f（x）的最大值．
（1）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．
f′（x）=1/(x+1)−1=－x/x+1，
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当x=0时f（x）取得极大值f（0）=0
（2）分析：由题意可知kx＞0
x+1＞0
lnkx/2＝ln(x+1)
可得x＞-1且x≠0，k=x+1/x+2，（x＞-1且x≠0），由“对号函数”的性质和集合的运算可得。
依题意得kx＞0
x+1＞0
lnkx/2＝ln(x+1)
解得x＞-1且x≠0
由对数的性质可得lnkx=2ln（x+1）=ln（x+1）²
可得kx=（x+1）²，
变形可得k=(x+1)2/x=x+1/x+2（x＞-1且x≠0）
由“对号函数”的性质可知x+1/x＜-2，或x+1/x≥2，
∴x+1/x+2＜0，或x+1/x+2≥4，
∵函数f（x）= lnkx/2-ln（x+1）不存在零点，
∴k取x+1/x+2取值集合的补集，即{k|0≤k＜4}，
∴答案为：[0，4）
点评： 本题考查函数的零点，涉及“对号函数”的性质和集合的运算，属基础题．
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