如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为PA,BC的中点,PD垂直于平面ABCD,且PD＝AD＝根号2,CD=1(1)证明：MN平行于平面PCD(2)证明：MC垂直于BD(3)求二面角A-PB-D的余弦值

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为PA,BC的中点,PD垂直于平面ABCD,且PD＝AD＝根号2,CD=1(1)证明：MN平行于平面PCD(2)证明：MC垂直于BD(3)求二面角A-PB-D的余弦值
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为PA,BC的中点,PD垂直于平面ABCD,且PD＝AD＝根号2,CD=1(1)证明：MN平行于平面PCD(2)证明：MC垂直于BD(3)求二面角A-PB-D的余弦值

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为PA,BC的中点,PD垂直于平面ABCD,且PD＝AD＝根号2,CD=1(1)证明：MN平行于平面PCD(2)证明：MC垂直于BD(3)求二面角A-PB-D的余弦值
前两问用向量法解比较简便
1.建立坐标系,以D为原点,DA为X轴,DC为Y轴,DP为Z轴
则各个点的坐标为
P(0,0,√2),A(√2,0,0),B(√2,1,0),C(0,1,0)
由中点关系,易知M,N的坐标
M(√2/2,0,√2/2),N(√2/2,1,0)
所以呢
向量MN=(0,1,-√2/2)=3*向量DC-(1/2)向量DP,其中DC,DP均为平面PCD上的向量
所以MN//平面PCD
2.向量MC=(-√2/2,1,-√2/2)
向量BD=(√2,1,0)
向量MC*向量BD=0
所以MC⊥BD
3.解出各自法向量再算也很简单,运算量可能会大点,这里我用几何法了
过A作AE⊥BD于E
因为PD⊥AE(PD⊥那个面了)
BD⊥AE
所以
AE⊥平面PBD
在矩形ABCD中计算AE=√6/3
过A作AF⊥PB于F,在RTΔPAB中计算AF=2√5/5
所以sinθ=AE/AF=√(5/6)
因此cosθ=√6/6

(1)取AB的中点E，连接EM,EN。可以证明ME‖PD ,BE‖CD ,即平面MNE‖平面PCD
所以，MN‖平面PCD。
(2)做MF垂直AD于点F，连接CF交BD于点G。MF‖PD, PD⊥面ABCD ,因此MF⊥BD。
可以求出tan∠DCF=tan∠CBD 。因此∠DGC=∠DCB=90°，BD⊥FC。
因此BD⊥面MFC MC⊥BD。
(3...

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(1)取AB的中点E，连接EM,EN。可以证明ME‖PD ,BE‖CD ,即平面MNE‖平面PCD
所以，MN‖平面PCD。
(2)做MF垂直AD于点F，连接CF交BD于点G。MF‖PD, PD⊥面ABCD ,因此MF⊥BD。
可以求出tan∠DCF=tan∠CBD 。因此∠DGC=∠DCB=90°，BD⊥FC。
因此BD⊥面MFC MC⊥BD。
(3)过A点做AH垂直BD于点H，AI垂直PB于点I,连接HI。
可以证明AH⊥面PDB。因此二面角A-PB-D即为∠AIH
AH=√6/3 AI=√3/2 cos∠AIH=1/3

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(1)取AD中点E，连接ME，NE，则由于ME//PD，NE//CD，所以平面MNE//平面PCD
由于MN在平面MNE上，所以MN//平面PCD。
(2)连接CE，我们证明BD垂直于平面MCE，由于PD垂直于平面ABCD，ME//PD，所以
ME垂直于平面ABCD，因此ME垂直于BD……（1）；因为角ADB=角ECD（因为它们tan值相等）， 所以BD垂直于CE...

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(1)取AD中点E，连接ME，NE，则由于ME//PD，NE//CD，所以平面MNE//平面PCD
由于MN在平面MNE上，所以MN//平面PCD。
(2)连接CE，我们证明BD垂直于平面MCE，由于PD垂直于平面ABCD，ME//PD，所以
ME垂直于平面ABCD，因此ME垂直于BD……（1）；因为角ADB=角ECD（因为它们tan值相等）， 所以BD垂直于CE……（2），由（1）、（2）知：BD垂直于平面 MCE，所以MC垂直于BD
（3）过A作AF垂直于BD，则结合PD垂直于AF知：AF垂直于平面PBD。再过F做FG垂直于PB于G，连接AG，则角AGF即为二面角A-PB-D，其余弦值=FG/AG。
BF=1/（根号3）,从而在三角形PBD中，由FG/PD=BF/BD得：FG=（根号2）/3
并且BG=（根号5）/3，而在直角三角形ABG中，有勾股定理可得：AG=2/3
从而所求余弦值=[（根号2）/3]/(2/3)=(根号2)/2

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1、
过M做ME垂直AD于E点。可知E为AD的中点。连接ME，EN。
因为PD垂直于面ABCD，所以ME垂直于PD，因为ABCD为矩形，所以NE平行于DC
所以面MNE平行于面PCD。所以MN平行于面PCD。
2、
以D为原点做空间坐标，DC延长线为X轴，DA延长线为Y轴，DP延长线为Z轴。
有题目知道M（0，根号2/2，根号2/2），C（1，0，0...

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1、
过M做ME垂直AD于E点。可知E为AD的中点。连接ME，EN。
因为PD垂直于面ABCD，所以ME垂直于PD，因为ABCD为矩形，所以NE平行于DC
所以面MNE平行于面PCD。所以MN平行于面PCD。
2、
以D为原点做空间坐标，DC延长线为X轴，DA延长线为Y轴，DP延长线为Z轴。
有题目知道M（0，根号2/2，根号2/2），C（1，0，0）B（1，根号2，0）D（0，0，0）
MC乘以BD=（1.-根号2/2，-根号2/2）*（-1，-根号2）=0
所以MC垂直于BD
3
做面PAD和面PBD的法向量，然后求值。如果是负数就取正数。

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