设a,b,c＞0,a+b+c=1,求证：根号下3a+1+根号下3b+1+根号下3c+1≤3根号下2

设a,b,c＞0,a+b+c=1,求证：根号下3a+1+根号下3b+1+根号下3c+1≤3根号下2
设a,b,c＞0,a+b+c=1,求证：根号下3a+1+根号下3b+1+根号下3c+1≤3根号下2

设a,b,c＞0,a+b+c=1,求证：根号下3a+1+根号下3b+1+根号下3c+1≤3根号下2
a,b,c＞0,a+b+c=1,则有3a≤1,3b≤1,3c≤1.
√3a+1≤√2,√3b+1≤√2,√3c+1≤√2
√3a+1+√3b+1+√3c+1≤3√2

这道题可以用逆向思维，反证法：
要证明(根号3a+1)+(根号3b+1)+(根号3c+1)≤3(根2)，即要证明：
[(根号3a+1)+(根号3b+1)+(根号3c+1)]^2≤[3(根2)]^2
展开得：(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)+2[根号(3a+1)(3b+1)]+2[根号(3a+1)(3c+1)]+2[根号(3b+1)(3c+1)]≤18；
而：...

全部展开

这道题可以用逆向思维，反证法：
要证明(根号3a+1)+(根号3b+1)+(根号3c+1)≤3(根2)，即要证明：
[(根号3a+1)+(根号3b+1)+(根号3c+1)]^2≤[3(根2)]^2
展开得：(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)+2[根号(3a+1)(3b+1)]+2[根号(3a+1)(3c+1)]+2[根号(3b+1)(3c+1)]≤18；
而：(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)＝3(a+b+c)+3=6；
再由均值不等式得：(3a+1)+(3b+1)>=2[根号(3a+1)(3b+1)]；
(3a+1)+(3c+1)>=2[根号(3a+1)(3c+1)]；
(3b+1)+(3c+1)>=2[根号(3b+1)(3c+1)]；
这三个不等式在3a+1=3b+1=3c+1时，取等号！
将这三个不等式相加：6(a+b+c)+6>=2[根号(3a+1)(3b+1)]+2[根号(3a+1)(3c+1)]+2[根号(3b+1)(3c+1)]
即：12>=2[根号(3a+1)(3b+1)]+2[根号(3a+1)(3c+1)]+2[根号(3b+1)(3c+1)]
综合上述，得到：(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)+2[根号(3a+1)(3b+1)]+2[根号(3a+1)(3c+1)]+2[根号(3b+1)(3c+1)]≤12+6=18
两边再开根号，原命题得证！

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