已知数列an满足a1=1,an+小1=3an+2*3^n,求证{an/3^n-1}成等差数列,求an的通项公式,求an的前n项和sn

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/01 07:25:23

已知数列an满足a1=1,an+小1=3an+2*3^n,求证{an/3^n-1}成等差数列,求an的通项公式,求an的前n项和sn
已知数列an满足a1=1,an+小1=3an+2*3^n,求证{an/3^n-1}成等差数列,求an的通项公式,求an的前n项和sn

已知数列an满足a1=1,an+小1=3an+2*3^n,求证{an/3^n-1}成等差数列,求an的通项公式,求an的前n项和sn
a(n+1)=3an+2*3^n
a(n+1)/3^n=3an/3^n+2
a(n+1)/3^n=an/3^(n-1)+2
a(n+1)/3^n-an/3^(n-1)=2
所以an/3^(n-1)是以2为公差的等差数列
an/3^(n-1)=a1/3^(1-1)+(n-1)d
an/3^(n-1)=1+2(n-1)
an/3^(n-1)=2n-1
an=(2n-1)*3^(n-1)
sn=1*3^0+3*3^1+5*3^2+.+(2n-1)*3^(n-1)
3sn=1*3^1+3*3^2+5*3^3.+(2n-1)*3^n
sn-3sn=1+2*3^1+2*3^2+2*3^3+.+2*3^(n-1)-(2n-1)*3^n
-2sn=1+2*3^1+2*3^2+2*3^3+.+2*3^(n-1)-(2n-1)*3^n
-sn=1/2+3^1+3^2+3^3+.+3^(n-1)-(2n-1)*3^n/2
-sn=1/2+3*[1-3^(n-1)]/(1-3)-(2n-1)*3^n/2
-sn=1/2-3/2+3^n/2-(2n-1)*3^n/2
-sn=-1+3^n/2*[1-(2n-1)]
-sn=-1+(1-n)*3^n
sn=(n-1)*3^n+1

a(n+1)=3an+2*3^n 等式两边同除3^n,得a(n+1)/3^n=an/3^(n-1)+2所以{an/3^(n-1)}为等比数列,首项a1=1,an/3^(n-1)=2n-1 an=(2n-1)3^(n-1) Sn=1*1+3*3+5*3^2+…+(2n-3)3^(n-2)+(2n-1)3^(n-1) 3Sn=1*3+3*3^2+5*3^3+…+(2n-3)3^(n-1)+(2n-1)...

全部展开

a(n+1)=3an+2*3^n 等式两边同除3^n,得a(n+1)/3^n=an/3^(n-1)+2所以{an/3^(n-1)}为等比数列,首项a1=1,an/3^(n-1)=2n-1 an=(2n-1)3^(n-1) Sn=1*1+3*3+5*3^2+…+(2n-3)3^(n-2)+(2n-1)3^(n-1) 3Sn=1*3+3*3^2+5*3^3+…+(2n-3)3^(n-1)+(2n-1)3^n 两式相减,得-2Sn=1+2*3+2*3^2+…+2*3^(n-1)-(2n-1)3^n=2(1-3^n)/(1-3)-1+(1-3n)3^n=(2-2n)3^n-2 Sn=(n-1)3^n+1

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