已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形PA垂直平面ABCD角ABC=60度,点E,G为CD,PC中点F在PD上,PF:FD=1:2求证明BG平行AFC

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 13:25:07

已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形PA垂直平面ABCD角ABC=60度,点E,G为CD,PC中点F在PD上,PF:FD=1:2求证明BG平行AFC
已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形PA垂直平面ABCD角ABC=60度,点E,G为CD,PC中点F在PD上,PF:FD=1:2
求证明BG平行AFC

已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形PA垂直平面ABCD角ABC=60度,点E,G为CD,PC中点F在PD上,PF:FD=1:2求证明BG平行AFC
P点位置未确定,在底面ABCD作AH⊥BC,设菱形边长为1,
△ABC是正△,设PF/PD=k,
以A为原点,AH为X轴,AD为Y轴,AP为Z轴建立空间直角坐标系,
A（0,0,0）,B（√3/2,-1/2,0）,C（√3/2,1/2,0）,
D（0,2,0）,P（0,0,m）,F(0,2/k,(k-1)m/k),G(√3/4,1/4,m/2),
设向量AC=（√3/2,1/2,0）,向量AF=(0,2/k,(k-1)m/k),
设平面AFC法向量n1=(x1,y1,1),
n1·AC=√3/2x1+y1/2=0,y1=-√3x1,
n1·AF=0+2y1/k+(k-1)m/k=0,y1=(k-1)m,y1=-(k-1)m/2,
x1=(k-1)m/（2√3）,
n1=((k-1)m/（2√3）, -(k-1)m/2,1),
BG=(-√3/4,3/4,m/2),
BG·n1=(k-1)m/（2√3）*(-√3/4)-(3/4)* (k-1)m/2+m/2=-(k-1)/8-(3/8)(k-1)m+m/2=0,（因为当平面法向量和直线垂直时,则直线和平面平行）
-(k-1)/2+1/2=0,
∴k=2,
∴PF/PD=2,
即F应是PD的中点时,BG//平面AFC,此时AP长度未确定,故本题条件有误,不是PF：FD=1：2,应该是PF：FD=1：1,即F是PD的中点.
现反过来再设F的坐标值,F（0,1,m/2),
向量AF=（0,1,m/2）
n1·AC=√3/2x1+y1/2=0,y1=-√3x1,
n1·AF=0+y1+m/2=0,
∴y1=-m/2,x1=√3m/6,
∴n1=(√3m/6,-m/2,1),
向量BG=(-√3/4,3/4,m/2),
BG·n1=-m/8-3m/8+m/2=0,
∴向量BG⊥法向量n1,
∴BG//平面AFC.
故必须改正题中已知条件,PF/FD=1/2时BG不平行平面AFC,只有F是PD中点时,即PF：FD=1：1结论才正确.