作业帮已知圆C经过点A(0.3)和B(3.2),且圆心C在直线y=x上.求圆C的方程.若直线y=2x+m被圆C所截得的弦长为4,求实数m的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 23:26:48
已知圆C经过点A(0.3)和B(3.2),且圆心C在直线y=x上.求圆C的方程.若直线y=2x+m被圆C所截得的弦长为4,求实数m的值
已知圆C经过点A(0.3)和B(3.2),且圆心C在直线y=x上.求圆C的方程.若直线y=2x+m被圆C所截得的弦长为4,求实数m的值
已知圆C经过点A(0.3)和B(3.2),且圆心C在直线y=x上.求圆C的方程.若直线y=2x+m被圆C所截得的弦长为4,求实数m的值
设圆心C(a,a),圆方程：(x-a)²+(y-a)²=r²
AB代入方程：(0-a)²+(3-a)²=r².(1)
(3-a)²+(2-a)²=r².(2)
(2)-(1)：(2-a)²-a²=0
(2-a+a)(2-a-a)=0
a=1
代入(1)：r²=1+(3-1)²=5
圆方程：(x-1)²+(y-1)²=5
圆心到直线y=2x+m的距离d=|2-1+m|/√(4+1)=|1+m|/√5
设弦长L=4
d²+(L/2)²=r²
(|1+m|/√5)²+(4/2)²=5
(1+m)²/5+4=5
(1+m)²=5
1+m=±√5
m=-1±√5
圆心C在直线y=x上 设圆心O为(a,a)
所以 OA=OB
所以 (3-a)^2+a^2=(3-a)^2+(2-a)^2
a=1
所以 R^2=(3-a)^2+a^2=5
圆的方程(x-1)^2+(y-1)^2=5
因为直线y=2x+m被圆C所截得的弦长为4，
所以圆心O点到直线的距离为1
则 |1+m|/根号5=1
m=±√5-1
（x-1)∧2+(y-1)∧2=5,m=±√5-1过程呢？设方程为（x-a)∧2+(y-a)∧2=r∧2,把A(0.3)和B(3.2)代入得a=1,r由两点间距离求出，弦长为4，圆心到直线距离为1，由点到直线距离求得m公式啊Ax＋By＋C＝0坐标（Xo，Yo），，那么这点到这直线的距离就为： │AXo＋BYo＋C│／√（A²＋B²） ∣AB∣=√[(X1－X2)^2+(Y1...
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（x-1)∧2+(y-1)∧2=5,m=±√5-1
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设圆心为(a,b)，半径为r，设圆的方程的方程为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
由于圆心在直线y=x上，所以：b=a， 即圆的方程为：
(x-a)^2+(y-a)^2=r^2 ，C经过点A(0.3)和B(3.2)，代入圆的方程得：
(0-a)^2+(3-a)^2=r^2 (1)
(3-a)^2+(2-a)^2=r^2 (2)
...
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设圆心为(a,b)，半径为r，设圆的方程的方程为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
由于圆心在直线y=x上，所以：b=a， 即圆的方程为：
(x-a)^2+(y-a)^2=r^2 ，C经过点A(0.3)和B(3.2)，代入圆的方程得：
(0-a)^2+(3-a)^2=r^2 (1)
(3-a)^2+(2-a)^2=r^2 (2)
（2）-（2）得：
4-4a=0 ,a=1 代入（1），解得：r^2=5
所以圆的方程为：
（x-1）^2+（y-1）^2=5
直线y=2x+m被圆C所截，交圆为C、D两点，设C坐标(x1,y1)，D坐标(x2,y2)
将直线方程代入圆的方程的：
(x-1)^2+(2x+m-1)^2=5
化简：
5x^2+(4m-6)x+(m-3)(m+1)=0
所以
x1+x2=-(4m-6)/5
x1x2=(m+1)(m-3)/5
C、D在直线上满足直线方程：
y1=2x1+m
y2=2x2+m
y1-y2=2(x1-x2)
直线y=2x+m被圆C所截得的弦长为4,即线段|CD|=4
|CD|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
=√[(x1-x2)^2+4(x1-x2)^2] (将y1-y2=2(x1-x2)代入)
=√5*√(x1-x2)^2
=√5*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√5*√[(4m-6)^2/25-4(m+1)(m-3)/5] (将x1+x2=-(4m-6)/5，x1x2=(m+1)(m-3)/5代入)
化简：
原式=√5*√ =5
做个记号，回来再算，你也可以自己算
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