作业帮数列{an},a1=1,3anan-1+an-an-1=0（n≥2）.1、求an；2、若λan+1/an+1≥λ对任意n≥2恒成立,求实数λ的3、设bn=√an,{bn}的前n项和为Tn,求证：Tn＞2/3（根号下3n+1 -1）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 15:40:43
数列{an},a1=1,3anan-1+an-an-1=0（n≥2）.1、求an；2、若λan+1/an+1≥λ对任意n≥2恒成立,求实数λ的3、设bn=√an,{bn}的前n项和为Tn,求证：Tn＞2/3（根号下3n+1 -1）
数列{an},a1=1,3anan-1+an-an-1=0（n≥2）.1、求an；2、若λan+1/an+1≥λ对任意n≥2恒成立,求实数λ的
3、设bn=√an,{bn}的前n项和为Tn,求证：Tn＞2/3（根号下3n+1 -1）
数列{an},a1=1,3anan-1+an-an-1=0（n≥2）.1、求an；2、若λan+1/an+1≥λ对任意n≥2恒成立,求实数λ的3、设bn=√an,{bn}的前n项和为Tn,求证：Tn＞2/3（根号下3n+1 -1）
3anan-1+an-an-1=0
两边同时除以anan-1得
1/an-1 - 1/an +3=0
1/an=1/an-1 + 3
1/an= 3n -2
an= 1/（3n -2）
解（1）将3anan-1+an-an-1=0（n≥2）整理得： 1/an-1/an-1=3(n≥2)
所以 1/an=1+3(n-1)=3n-2，即 an=1/3n-2n=1时，上式也成立，所以， an=1/3n-2
（2）若 λan+1an+1≥λ恒成立，即 λ/3n-2+3n+1≥λ恒成立
整理得： λ≤(3n+1)(3n-2)/3(n-1)
令 ...
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解（1）将3anan-1+an-an-1=0（n≥2）整理得： 1/an-1/an-1=3(n≥2)
所以 1/an=1+3(n-1)=3n-2，即 an=1/3n-2n=1时，上式也成立，所以， an=1/3n-2
（2）若 λan+1an+1≥λ恒成立，即 λ/3n-2+3n+1≥λ恒成立
整理得： λ≤(3n+1)(3n-2)/3(n-1)
令 cn=(3n+1)(3n-2)/3(n-1) cn+1-cn=(3n+4)(3n+1)/3n-(3n+1)(3n-2)/3(n-1)=(3n+1)(3n-4)/3n(n-1)
因为n≥2，所以上式＞0，即{cn}为单调递增数列，所以c2最小， c2=28/3，
所以λ的取值范围为 (-∞，28/3]
（3）bn=√an==√[1/（3n-2）]
因为bn=√[1/（3n-2）] >2/3*[√(3n+1)-√(3n-2)]
所以Tn=n1+b2+……+bn>2/3*[√（3n+1） -1]
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