作业帮已知函数f(x)=lnx-1/2ax^2+x,a属于R是否存在实数a,使得函数f(x)的极值大于0?若存在,求a的取值范围,若不存在,请说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 02:56:08
已知函数f(x)=lnx-1/2ax^2+x,a属于R是否存在实数a,使得函数f(x)的极值大于0?若存在,求a的取值范围,若不存在,请说明理由
已知函数f(x)=lnx-1/2ax^2+x,a属于R
是否存在实数a,使得函数f(x)的极值大于0?若存在,求a的取值范围,若不存在,请说明理由
已知函数f(x)=lnx-1/2ax^2+x,a属于R是否存在实数a,使得函数f(x)的极值大于0?若存在,求a的取值范围,若不存在,请说明理由
显然x>0
令f'(x)=1/x－ax+1=0,等价于ax^2-x-1=0
（1）当a=0时,上述方程解为x=-1,与x>0矛盾
则a=0时f(x)不存在极值
（2）当a>0时,因⊿=1+4a≥0,且抛物线y=ax^2-x-1对称轴x=1/2a>0
则a>0时f(x)总存在极值
（3）当a1
则极值点为x=[1+√(1+4a)]/(2a)
显然当x>[1+√(1+4a)]/(2a)时
因x-1/(2a)>√(1+4a)/(2a)>0
则由不等式性质有a[x-1/(2a)]^2>a[√(1+4a)/(2a)]^2
即ax^2-x-1>0,即f'(x)0（其中a>0）
即有ln{[1+√(1+4a)]/(2a)}+[1+√(1+4a)]/(4a)-1/2>0
令[1+√(1+4a)]/(2a)=m
即有lnm+m/2-1/2>0
显然m>1（根据经验,或利用函数解不等式）
所以[1+√(1+4a)]/(2a)>1（其中a>0）
即√(1+4a)>2a-1（其中a>0）
若令g(a)=√(1+4a)（其中a>0）,h(a)=2a-1（其中a>0）
易知g(a)和h(a)均为增函数
但g(a)随着a的增大趋缓,而h(a)为一次函数
则g(a)与h(a)在a>0时必有一个交点
不妨令√(1+4a)＝2a-1
解得a=2
显然当02时g(a)
f'(x)=1/x-ax+1=(-ax^2+x+1)/x，函数的定义域为（0，+∞）
⑴若a≤0，则f'(x)＞0，函数在定义域上单调递增，不存在极值
⑵若a＞0，则令f'(x)=0，并注意到x>0，可得x=(1+√(1+4a))/(2a)
当0
全部展开
f'(x)=1/x-ax+1=(-ax^2+x+1)/x，函数的定义域为（0，+∞）
⑴若a≤0，则f'(x)＞0，函数在定义域上单调递增，不存在极值
⑵若a＞0，则令f'(x)=0，并注意到x>0，可得x=(1+√(1+4a))/(2a)
当0
所以当x=(1+√(1+4a))/(2a)时，函数f(x)有极大值
因此题设等价于 存在实数a，使得 f(x)的极大值大于0，
而a的取值范围是A={a|存在实数a(a>0)，使得f(x)的极大值大于0}
( 以下，先求A在正实数集R中的补集，再求出集合A)
A在古实数集R中的补集为B={a|对任意实数a>0，使得f(x)的极大值小于或等于0}
即 f(x)≤0恒成立，
从而得 1/2a≥(lnx+x)/x^2恒成立，令g(x)=(lnx+x)/x^2，则只须求函数g(x)的最大值.
因为 g'(x)=(1-x-2lnx)/x^3，设u(x)＝1-x-2lnx，则u'(x)=-1-2/x＜0，故
u(x)在（0，+∞）上单调递减，而u(1)=0，所以
当 0
因此 当时x＝1时，g(x)取最大值g(1)=1，于是 1/2a≥1，a≥2
所以 B=[2，+∞)，从而得A=(0，2)
即实数a的取值范围是 (0，2)
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