证明函数f(x)=x+4/x在区间【2,+无穷)上为增函数,并求f(x)在区间【3,+无穷)上的最小值如题

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 06:20:11

证明函数f(x)=x+4/x在区间【2,+无穷)上为增函数,并求f(x)在区间【3,+无穷)上的最小值如题
证明函数f(x)=x+4/x在区间【2,+无穷)上为增函数,并求f(x)在区间【3,+无穷)上的最小值
如题

证明函数f(x)=x+4/x在区间【2,+无穷)上为增函数,并求f(x)在区间【3,+无穷)上的最小值如题
令2<=x1f(x1)-f(x2)
=x1+4/x1-(x2+4/x2)
=(x1-x2)+4(1/x1-1/x2)
=x1x2(x1-x2)/x1x2+4(x2-x1)/x1x2
=(x1²x2-x1x2²+4x2-4x1)/x1x2
=[x1(x1x2-4)+x2(4-x1x2)]/x1x2
=(x1x2-4)(x1-x2)/x1x2
x1x2-4>0 ;x1-x2<0 ;x1x2>0
所以f(x1)-f(x2)<0即f(x1)所以f(x)在区间【2,+无穷)上为增函数
因为在区间【2,+无穷)上为增函数
所以f(3)min=3+4/3=13/3

设2≤x1f(x2)-f(x1)
=x2-x1+4/x2-4/x1
=(x2-x1)[1-4/(x1x2)]
=(x2-x1)(x1x2-4)/(x1x2)
因为x2-x1>0,2≤x10，x1x2>0
于是有f(x2)-f(x1)>0，即f(x)在[2，+无穷)是增函数。
由于f(x)在[2...

全部展开

设2≤x1f(x2)-f(x1)
=x2-x1+4/x2-4/x1
=(x2-x1)[1-4/(x1x2)]
=(x2-x1)(x1x2-4)/(x1x2)
因为x2-x1>0,2≤x10，x1x2>0
于是有f(x2)-f(x1)>0，即f(x)在[2，+无穷)是增函数。
由于f(x)在[2,+无穷)是增函数，当然在[3,+无穷)也是增函数，所以在[3,+无穷)上f(x)最小值是f(3)=3+4/3=13/3.

收起

证明函数f（x）=x+4/x在区间（0,2）内是减函数 证明函f(x)=x+4/x在区间（0,2〕上是减函数. 证明函数f(x)=-x^2+2x+3在区间(-∞,-1]上是增函数 证明:函数f(x)=x^2-1/x在区间(0,正无穷)上是增函数 已知函数f(x)=x+2/x,证明函数f(x)在区间(1,+∞)上是增函数. 证明函数f(x)=-x+2在区间(-∞,0)是减区间 证明二次函数f(x)=x平方-4x+3在区间[2,十∞]上是增函数. 证明函数f(x)=x的平方-2x在区间(负无穷大,0) 设函数f(x)=x-xlnx.证明f(x)在区间(0,1)上是增函数. 证明函数f(x)=3x^4在区间[0,+∞)上为增函数 证明函数f(x)=x分之4在区间（0,+∞）是减函数 证明函数f(x)=x分之4在区间（0,+∞）是减函数 证明:函数f(x)=X的-2次方在区间(-无穷大,0)上是增函数 证明:函数f(x)=X的-2次方在区间(-无穷大,0)上是增函数 证明函数f(x)=2x-1在定义区间内是增函数. 证明:函数f(x)=-2x+1在区间(0+∞)上是减函数 已知函数f(x)=x²+4x+3,用定义证明函数f(x)在区间[﹣2,﹢∞﹚上是增函数. 证明函数f(x)=2x/(x∧2-1)在区间[1,1]上是减函数 用定义证明