三角形ABC内接于圆O,AB=AC,直线MN切圆O于点C,弦BD平行于MN,AC交BD于E（1） 求证三角形ABE全等于ACD（2） 若AB=6,BC=4,求AE

三角形ABC内接于圆O,AB=AC,直线MN切圆O于点C,弦BD平行于MN,AC交BD于E（1） 求证三角形ABE全等于ACD（2） 若AB=6,BC=4,求AE
三角形ABC内接于圆O,AB=AC,直线MN切圆O于点C,弦BD平行于MN,AC交BD于E（1） 求证三角形ABE全等于ACD（2） 若AB=6,BC=4,求AE

三角形ABC内接于圆O,AB=AC,直线MN切圆O于点C,弦BD平行于MN,AC交BD于E（1） 求证三角形ABE全等于ACD（2） 若AB=6,BC=4,求AE
（1）BD平行于过C的切线MN,故弧长BC=CD,所以其对角∠BAC=∠DAC；
∠ABD与∠ACD共同对应弧长AD,所以∠ABD=∠ACD；
AB=AC；
由三角形全等条件“角边角”,△ABE≌△ACD.
（2）AB=AC=6,BC=CD=4 ,△ABE≌△ACD,故AE=AD,
对△ABC,AB=AC=6,BC=CD=4,∠BAD=2∠BAC=4arcsin（1/3)=4arccos[(8/9)]
四倍角公式cos∠BAD=cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)=1-8（8/9)+8(8/9)(8/9)=17/81
△ABD与△CBD共用边BD,且∠BAD=∠BCD；
AD^2+AB^2-2ADABcos∠BAD=CD^2+BC^2-2CDBCcos∠BAD；
AD^2-2AD×102/81+868/81=0；
AE=AD =102/81+(√59904)/81≈4.0281

①如图，在⊿ABC和⊿ACD中

因AB=AC,∠ABE=∠ACD

又∠BAE=∠EDC,

∵BD∥MN

∴∠EDC=∠DCN

∵直线MN是圆的切线

∴∠DCN=∠CAD,∠BAE=∠CAD

∴⊿ABE≌⊿ACD (SAS)

②

∵∠EBC=∠BCM=∠BDC

∴∠EBC=∠BDC=∠BAC, BC=CD=4

又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB

∴BC=BE=4

易证△ABE∽△DEC

∴DE/AE=DC/AB=4/6

DE=2*AE/3

又AE*EC=BE*DE, EC=AB-AE

∴4*2*AE/3=AE*(AB-AE)

AE=10/3