作业帮设f(x)=ax^2+bx+c (a≠0),若|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,试证明,对任意-1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 15:47:22
设f(x)=ax^2+bx+c (a≠0),若|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,试证明,对任意-1
设f(x)=ax^2+bx+c (a≠0),若|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,试证明,对任意-1
设f(x)=ax^2+bx+c (a≠0),若|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,试证明,对任意-1
∵f(0)=c
f(1)=a+b+c
f(-1)=a-b+c
∴a=[f(1)+f(-1)-2f(0)]/2
b=[f(1)-f(-1)]/2
c=f(0)
把它们代入到函数表达式里,再化简,得
|f(x)|=|[(x^2+x)f(1)]/2+[(x^2-x)f(-1)]/2+
(1-x^2)f(0)|≤|(x^2+x)/2||f(1)|+
|(x^2-x)/2||f(-1)|+|1-x^2||f(0)|≤
|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+|1-x^2|=
|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2
当x≤0时,|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2=
-x^2-x+1≤5/4
当x>0时,|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2=
-x^2+x+1≤5/4.
综上所述,|f(x)|≤5/4.
解:∵f(0)=c
f(1)=a+b+c
f(-1)=a-b+c
∴a=[f(1)+f(-1)-2f(0)]/2
b=[f(1)-f(-1)]/2
c=f(0)
代入到函数化简得
|f(x)|=|[(x^2+x)f(1)]/2+[(x^2-x)f(-1)]/2+
(1-x^2)f(0)|≤|(x^2+x)/2||f(1...
全部展开
解:∵f(0)=c
f(1)=a+b+c
f(-1)=a-b+c
∴a=[f(1)+f(-1)-2f(0)]/2
b=[f(1)-f(-1)]/2
c=f(0)
代入到函数化简得
|f(x)|=|[(x^2+x)f(1)]/2+[(x^2-x)f(-1)]/2+
(1-x^2)f(0)|≤|(x^2+x)/2||f(1)|+
|(x^2-x)/2||f(-1)|+|1-x^2||f(0)|≤
|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+|1-x^2|=
|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2
当x≤0时，|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2=
-x^2-x+1≤5/4
当x>0时，|(x^2+x)/2|+|(x^2-x)/2|+1-x^2=
-x^2+x+1≤5/4.
综上所述，|f(x)|≤5/4.
取等号，x=-1/2时,f(1)=-1,f(0)=f(-1)=1.
收起
高考不考此类证明题，因为已有结果。是个人都知道往结果上凑。再者改卷老师没空细看。所以试题组不敢出这种题。