椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与x+y=1交于P、Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点1) 求1/a^2+1/b^2的值 (2)若椭圆的离心率e满足√3/3≤e≤√2/2,求椭圆长轴的取值范围

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 13:46:09

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与x+y=1交于P、Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点1) 求1/a^2+1/b^2的值 (2)若椭圆的离心率e满足√3/3≤e≤√2/2,求椭圆长轴的取值范围
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与x+y=1交于P、Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点
1) 求1/a^2+1/b^2的值
(2)若椭圆的离心率e满足√3/3≤e≤√2/2,求椭圆长轴的取值范围

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与x+y=1交于P、Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点1) 求1/a^2+1/b^2的值 (2)若椭圆的离心率e满足√3/3≤e≤√2/2,求椭圆长轴的取值范围
1 设P(x1,y1),Q(x2,y2) 有y1*y2/(x1*x2)=-1
联立x^2/a^2+y^2/x^2=1 x+y=1
得（a^2+b^2)x^2-2a^2x+a^2-a^2b^2=0
（a^2+b^2)y^2-2b^2y+b^2-a^2b^2=0
应用韦达定理得y1*y2/(x1*x2)=（b^2-a^2b^2）/（a^2-a^2b^2）=-1
即a^2+b^2=2a^2b^2 （*）
得1/a＾2+1/b＾2=2 （1）
2 b^2=a^2-c^2=a^2(1-e^2)代入（*）中得
a=((2-e^2)/(1-e^2))^0.5
a=(1+2/(1-e^2))^0.5此函数为增函数,将e的取值范围带入则:
2≤a≤√5

设P（x1，y1），Q（x2，y2）由OP⊥OQ 可得 x 1x 2+y1 y 2=0（2分）
∵y1=1-x1，y2=1-x2
∴2x1x2-（x1+x2）+1=0 ①
又将y=1-x
代入x^2 \ a^2 +y^2\ b^2=1
可得（a^2+b^2）x^2-2a^2x+a^2（1-b^2）=0
∵ △＞0...

全部展开

设P（x1，y1），Q（x2，y2）由OP⊥OQ 可得 x 1x 2+y1 y 2=0（2分）
∵y1=1-x1，y2=1-x2
∴2x1x2-（x1+x2）+1=0 ①
又将y=1-x
代入x^2 \ a^2 +y^2\ b^2=1
可得（a^2+b^2）x^2-2a^2x+a^2（1-b^2）=0
∵ △＞0
∴ x1+x2=2a^2 \ a^2+b^2
x1x2=a^2(1-b^2) \ a^2+b^2 （4分）
代入①化简得
1 \a^2+1\ b^2 =2．（6分）

（2） ∵e2=c^2\ a^2 =1-b^2 \a^2
∴1\ 3 ≤1-b^2\ a^2≤1\ 2
∴1\2 ≤ b^2 \a^2 ≤2\3 （8分）
又由（1）知b^2=a^2\ 2a^2-1 （9分）
∴1\2≤1\ 2a^2-1 ≤2\3
∴√5\2 ≤a≤√6\2，（11分）
∴长轴 2a∈[√ 5 ，√ 6 ]．（12分）

收起

全部展开

这题有难度啊```我还是花点工夫做吧``
先看条件```设P（x1,y1) Q(x2,y2)
因为垂直``用向量的知识可得x1*x2+y1*y2=0 ③
这个先做出来```过会要用到```
然后看题目```把x+y=1带入x^2/a^2+y^2/b^2=1(就是分别把x或y消掉，求出的方程的解就是交点的解）
得出2个方程
①（(1/a^2)+(1/b^2))x^2-(2x/b^2)+(1/b^2-1)=0
②（(1/a^2)+(1/b^2))y^2-(2y/b^2)+(1/a^2-1)=0
再用伟大定理可算出x1*x2=（(1/b^2)-1)/((1/a^2)+(1/b^2)
y1*y2=（(1/a^2)-1)/((1/a^2)+(1/b^2)
然后把x1*x2和y1*y2代入③，就得出
1/a^2+1/b^2=2
2.将1/a^2+1/b^2=2 中的b^2换成a^2-c^2
则1/a^2+1/(a^2-c^2)=2 左右同乘以(a^2-c^2)
则得到1-c^2/a^2+1=2（a^2-c^2）
整理得2-e^2=2(a^2-c^2)
再同除以a^2``得(2-e^2)/a^2=2(1-e^2)
所以a^2=(2-e^2)/2(1-e^2)
a=√((2-e^2)/2(1-e^2))
带如可得a为[（√5）/2,（√6）/2]

收起

前面的第二问，解错了，不能用第一问得出的1/a^2+1/b^2=2结论，因为第一种情况实际上那个椭圆已经是半径为1的圆，不是椭圆，圆是没有偏心率的，我认为第二问缺条件，无解。
画一下图就很容易知道，在直线X+Y=1上，满足OP垂直于OQ的P、Q两点，就是直线与坐标轴的交点，即P（0，1）和Q（1，0），椭圆经过这两点，实际上就是半径为1的圆，X^2+Y^2=1,a=b=1因此
（...

全部展开

收起