已知函数f(x)=1/x+alnx(a不等于0,a为实数）,若在区间[1,e]上至少存在一点Xo,使f(Xo)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 10:22:19

已知函数f(x)=1/x+alnx(a不等于0,a为实数）,若在区间[1,e]上至少存在一点Xo,使f(Xo)
已知函数f(x)=1/x+alnx(a不等于0,a为实数）,若在区间[1,e]上至少存在一点Xo,使f(Xo)

已知函数f(x)=1/x+alnx(a不等于0,a为实数）,若在区间[1,e]上至少存在一点Xo,使f(Xo)
若a>0,f(x)最大值f(e)=1/x+a

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令f'（x）=0，得到x=1/a ，
若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，
其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．
（1）当x=1 a ＜0，
即a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，
所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，
故f（x）在区间[1，e]上的最小值为f(e)=1/e +alne=1/e +a，
由1/e +a＜0，得a＜-1 e ，即a∈(-∞，-1/e )
（2）当x=1/a ＞0，即a＞0时，
①若e≤1/a ，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，
所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，
所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为f(e)=1 e +alne=1 e +a＞0，
显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立
②若1＜1 a ＜e，即a＞1 e 时，则有
x (1，1/a ) 1/a (1 a ，e)f'（x） - 0 +
f（x） ↘ 极小值 ↗
所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为f(1 a )=a+aln1 a ，
由f(1/a )=a+aln1 a =a(1-lna)＜0，
得1-lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．
综上，由（1）（2）可知：a∈(-∞，-1 e )∪(e，+∞)符合题意

收起

a小于-1/e

已知函数f(x)=alnx+1/x 当a 已知函数f(x)=2x-alnx.设若a 已知函数f(x)=((x^2)/2)-alnx(a 已知函数f(x)=x^2-x+alnx(x>=1),当a 已知函数f(x)=x^2-x+alnx(x≥1),当a 已知函数f(x)=x-alnx,若a =1,求函数的极值已知函数f(x)=alnx+(a+1)/2x^2+1讨论函数f(x)的单调性已知函数f(x)=x^2-2alnx-1(a≠0),求函数f(x)的单调区间已知函数f(x)=x-2/x=1-alnx a>o 讨论f(x)的单调性已知f(x)=alnx-x＋1/x求函数f(x)的单调性已知f(x)=1/x+alnx若a=2,求函数f(x)的单调区间. 已知函数f（x）=x2-2（a+1）x+2alnx求f（x）单调区间已知函数f(x)=√(x+1)-alnx(a∈R),求f(x)的单调区间已知函数f(x)=x²-2alnx求最值已知函数f(x) =x^2+alnx. 已知函数f(x)=½x^2-alnx 已知函数fx=x-alnx.若a=1.求函数f x的极值. 已知函数f（x）=x-alnx(a ∈R )求函数的极值