计算I=∫∫(x^2+y^2+z^2)ds,其中Σ为球面x^2+y^2+z^2=2az(a>0)答案是8πa^4但是我积到一半就卡住了,求大神详解%>_

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/12 18:54:56

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计算I=∫∫(x^2+y^2+z^2)ds,其中Σ为球面x^2+y^2+z^2=2az(a>0)
答案是8πa^4
但是我积到一半就卡住了,求大神详解%>_

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Σ分为两部分Σ1:z=a+√(a^2-x^2-y^2)与Σ2:z=a-√(a^2-x^2-y^2).
Σ1与Σ2在xoy面上的投影区域都是D:x^2+y^2≤a^2.
Σ1与Σ2上,dS=a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy.
所以I=∫∫(Σ1)(x^2+y^2+z^2)dS+∫∫(Σ2)(x^2+y^2+z^2)dS
=∫∫(D) 2a×(a+√(a^2-x^2-y^2)×a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy+∫∫(D) 2a×(a-√(a^2-x^2-y^2)×a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy
=∫∫(D) 4a^3/√(a^2-x^2-y^2)dxdy
=∫(0到2π)dθ∫(0到a) 4a^3/√(a^2-ρ^2)ρdρ
=8πa^4.