在数列{an}中,a1=6,an=3a(n-1)+3^n(n≥2,且n∈N)(1)证明{an/3^n}为等差数列(2)若bn=an-3^n,求数列{bn}的前n项和Sn.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/01 01:46:04

在数列{an}中,a1=6,an=3a(n-1)+3^n(n≥2,且n∈N)(1)证明{an/3^n}为等差数列(2)若bn=an-3^n,求数列{bn}的前n项和Sn.
在数列{an}中,a1=6,an=3a(n-1)+3^n(n≥2,且n∈N)(1)证明{an/3^n}为等差数列
(2)若bn=an-3^n,求数列{bn}的前n项和Sn.

在数列{an}中,a1=6,an=3a(n-1)+3^n(n≥2,且n∈N)(1)证明{an/3^n}为等差数列(2)若bn=an-3^n,求数列{bn}的前n项和Sn.
证明:an=3a(n-1)+3^n(n≥2,且n∈N)
在方程两边同时除以3^n 可得
an/3^n=a(n-1)/3^(n-1)+1 n≥2
所以数列{an/3^n}为等差数列
(2)将bn=an-3^n代入an/3^n=a(n-1)/3^(n-1)+1
可得bn=b(n-1)+1 b1=a1/3=2
所以数列{bn}是首项为2的 公差d为1的等差数列
∴bn=n
前n项和sn=n(b1+bn)/2=n(n+1)/2

an=3a(n-1)+3^n,等式两边同时除以3^n,得到
an/3^n=a(n-1)/3^(n-1)+1,设数列bn={an/3^n},
bn=b(n-1)+1,b1=a1/3=2,因此bn是首项为2公差为1的等差数列