在三角形ABC中asinA+bsinB=csinC,试用余弦定理证明△ABC为直角三角形如题

在三角形ABC中asinA+bsinB=csinC,试用余弦定理证明△ABC为直角三角形如题
在三角形ABC中asinA+bsinB=csinC,试用余弦定理证明△ABC为直角三角形
如题

在三角形ABC中asinA+bsinB=csinC,试用余弦定理证明△ABC为直角三角形如题
asinA+bsinB=csinC,
a=2R*sinA,b=2R*sinB,c=2R*sinC,即有
(sinA)^2+(sinB)^2=(sinC)^2,
(sinA)^2=(sinC)^2-(sinB)^2=(sinC+sinB)*(sinC-sinB),
而,sinC+sinB=2sin[(C+B)/2]*cos[(C-B)/2],
sinC-sinB=2cos[(C+B)/2]*sin[(C-B)/2],
(sinA)^2=[2*sin(A/2)*cos(A/2)]^2,
A+B+C=180,A/2=[180-(C+B)]/2=90-(C+B)/2,
即有,sin(A/2)=sin[90-(C+B)/2]=cos[(C+B)/2],
cos(A/2)=cos[(90-(C+B)/2]=sin[(C+B)/2],
可得到,
2cos(A/2)*sin(A/2)=2cos[(C-B)/2]*sin[(C-B)/2],
sinA=sin(C-B),
sinA-sin(C-B)=0,
2cos[(A+C-B)/2]*sin[(A+B-C)/2]=0,
cos[(A+C-B)/2]=0,或sin[(A+B-C)/2]=0,
A+C=180-B,或A+B=180-C,
cos[(A+C-B)/2]=cos(90-B)=sinB=0(不合,舍去).
当sin[(A+B-C)/2]=0,时,
sin(90-C)=cosC=0,即有,
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=0,
a^2+b^2=c^2,
C=90度,ABC为直角三角形.

因a/sinA=b/sinB
有a=bsinA/sinB
因asinA+bsinB=csinC
所以b(sinA^2)/sinB+bsinB=csinC
即 b[(sinA^2)+(sinB^2)]/sinB=csinC ①
因b/sinB=c/sinC ②
将②式带入①式得
（sinA^2)+(sinB^2）=(sinC^2)...

全部展开

因a/sinA=b/sinB
有a=bsinA/sinB
因asinA+bsinB=csinC
所以b(sinA^2)/sinB+bsinB=csinC
即 b[(sinA^2)+(sinB^2)]/sinB=csinC ①
因b/sinB=c/sinC ②
将②式带入①式得
（sinA^2)+(sinB^2）=(sinC^2) ③
因正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC
故有a=csinA/sinC ④
b=csinB/sinC ⑤
又因余弦定理
(c^2)=(a^2)+(b^2)-2abcosC ⑥
将④、⑤式带入⑥式中有
(c^2)=[(c^2)(sinA^2)/(sinC^2)]+[(c^2)(sinB^2)/(sinC^2)]-2abcosC
(c^2)=(c^2)[(sinA^2)+(sinB^2）]/(sinC^2)-2abcosC
带入③式得
(c^2)=(c^2）-2abcosC
0=-2abcosC
因a,b为边，所以均不为0
故 cosC=0
因角C为三角形内角
所以角C小于180度
故角C=90度 三角形ABC为直角三角形

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