直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,且AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,M是侧棱CC1上的一点,设MC=h（1）若BM⊥A1C,求h的值（2）若直线AM与平面ABC所成的角为45°,求多面体ABM-A1B1C1的体积

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 08:54:36

直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,且AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,M是侧棱CC1上的一点,设MC=h（1）若BM⊥A1C,求h的值（2）若直线AM与平面ABC所成的角为45°,求多面体ABM-A1B1C1的体积
直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,且AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,M是侧棱CC1上的一点,设MC=h
（1）若BM⊥A1C,求h的值
（2）若直线AM与平面ABC所成的角为45°,求多面体ABM-A1B1C1的体积

直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,且AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,M是侧棱CC1上的一点,设MC=h（1）若BM⊥A1C,求h的值（2）若直线AM与平面ABC所成的角为45°,求多面体ABM-A1B1C1的体积
根据题意作下图,并以地面直角三角形顶点A为原点建立直角坐标系,设坐标M(0,2,h)；
其他点A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、A1(0,0,4)、C1(0,2,4)；
（1）利用向量法求解,向量 BM=(0-2,2-0,h-0)=(-2,2,h),向量 A1C=(0-0,2-0,0-4)=(0,2,-4)；
若BM⊥A1C,则 BM•A1C=0,即 (-2)*0+2*2+h*(-4)=0,∴ h=1；
（2）∵ AB⊥AC,AA1⊥AB,∴ AB⊥平面AA1C1C,∴ ∠MAC即为AM与平面ABC所成二面角；
由 ∠MAC=45°可知,MC=AC=2,则棱锥M~ABC的体积=S△ABC*MC/3=(2*2/2)*2/3=4/3；
多面体ABM-A1B1C1的体积=直棱柱ABC~A1B1C1的体积﹣棱锥M~ABC的体积
=S△ABC*AA1-S△ABC*MC/3=S△ABC*(4-2/3)=(2*2/2)*10/3=20/3；