作业帮已知f（x）=-2asin(2x+6分之π)+2a+b,x∈【4分之π,4分之3π】,是否存在有理数a,b,使得f(x)的值域为【-3,根号三-1】,若存在,求出a,b的值,若不存在,说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 08:08:18
已知f（x）=-2asin(2x+6分之π)+2a+b,x∈【4分之π,4分之3π】,是否存在有理数a,b,使得f(x)的值域为【-3,根号三-1】,若存在,求出a,b的值,若不存在,说明理由
已知f（x）=-2asin(2x+6分之π)+2a+b,x∈【4分之π,4分之3π】,是否存在有理数a,b,使得f(x)的值域为【-3,根号三-1】,若存在,求出a,b的值,若不存在,说明理由
已知f（x）=-2asin(2x+6分之π)+2a+b,x∈【4分之π,4分之3π】,是否存在有理数a,b,使得f(x)的值域为【-3,根号三-1】,若存在,求出a,b的值,若不存在,说明理由
∵x∈[π/4,3π/4] ∴2x∈[π/2,3π/2] ∴2x＋π/6∈[2π/3,5π/3]
∴sin(2x＋π/6)∈[﹣√3/2,√3/2]
（1）当a＞0时,f(x)∈[﹣√3a＋2a＋b,√3a＋2a＋b]
要使f(x)的值域为[﹣3,√3－1],则﹣√3a＋2a＋b＝﹣3 ,√3a＋2a＋b＝√3－1
∴2√3a＝2＋√3 ∴a＝(2＋√3)/2√3＝(2√3＋3)/6为无理数 ∴此时不存在
（2）当a＜0时,f(x)∈[√3a＋2a＋b,﹣√3a＋2a＋b]
要使f(x)的值域为[﹣3,√3－1],则√3a＋2a＋b＝﹣3 ,﹣√3a＋2a＋b＝√3－1
∴2√3a＝﹣2－√3 ∴a＝﹣(2＋√3)/2√3＝﹣(2√3＋3)/6为无理数 ∴此时不存在
∴满足题目要求的有理数a、b不存在
该方程可改写为f（x）=2a[1-sin(2x+π/6)]+b，x∈（π/4，3π/4）；
设T=1-sin(2x+π/6)]，x∈（π/4，3π/4），可得T∈[1-（√3）/2，2]；则f（T）=2aT+b，
分别将T1=1-（√3）/2，T2=2，f（T1）=-3，f（T2）=√3-1代入方程，可得一组a,b值；
也可将T2=1-（√3）/2，T1=2，f（T1）=-...
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该方程可改写为f（x）=2a[1-sin(2x+π/6)]+b，x∈（π/4，3π/4）；
设T=1-sin(2x+π/6)]，x∈（π/4，3π/4），可得T∈[1-（√3）/2，2]；则f（T）=2aT+b，
分别将T1=1-（√3）/2，T2=2，f（T1）=-3，f（T2）=√3-1代入方程，可得一组a,b值；
也可将T2=1-（√3）/2，T1=2，f（T1）=-3，f（T2）=√3-1代入方程，可得a=-1，b=-1，成立。
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∵x∈[π/4，3π/4] ∴2x∈[π/2，3π/2] ∴2x＋π/6∈[2π/3，5π/3]
∴sin(2x＋π/6)∈[﹣√3/2，√3/2]
（1）当a＞0时，f(x)∈[﹣√3a＋2a＋b，√3a＋2a＋b]
要使f(x)的值域为[﹣3，√3－1]，则﹣√3a＋2a＋b＝﹣3 ，√3a＋2a＋b＝√3－1
∴2√3a＝2＋√3 ...
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∵x∈[π/4，3π/4] ∴2x∈[π/2，3π/2] ∴2x＋π/6∈[2π/3，5π/3]
∴sin(2x＋π/6)∈[﹣√3/2，√3/2]
（1）当a＞0时，f(x)∈[﹣√3a＋2a＋b，√3a＋2a＋b]
要使f(x)的值域为[﹣3，√3－1]，则﹣√3a＋2a＋b＝﹣3 ，√3a＋2a＋b＝√3－1
∴2√3a＝2＋√3 ∴a＝(2＋√3)/2√3＝(2√3＋3)/6为无理数 ∴此时不存在
（2）当a＜0时，f(x)∈[√3a＋2a＋b，﹣√3a＋2a＋b]
要使f(x)的值域为[﹣3，√3－1]，则√3a＋2a＋b＝﹣3 ，﹣√3a＋2a＋b＝√3－1
∴2√3a＝﹣2－√3 ∴a＝﹣(2＋√3)/2√3＝﹣(2√3＋3)/6为无理数 ∴此时不存在
∴满足题目要求的有理数a、b不存在
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