作业帮直线x+2y-3=0与圆x^2+y^2+x-6y+c=0交于P、Q两点,O为坐标原点,若OP垂直OQ,求C的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 04:44:51
直线x+2y-3=0与圆x^2+y^2+x-6y+c=0交于P、Q两点,O为坐标原点,若OP垂直OQ,求C的值
直线x+2y-3=0与圆x^2+y^2+x-6y+c=0交于P、Q两点,O为坐标原点,若OP垂直OQ,求C的值
直线x+2y-3=0与圆x^2+y^2+x-6y+c=0交于P、Q两点,O为坐标原点,若OP垂直OQ,求C的值
设P(x1,y1) Q(x2,y2)
∵OP⊥OQ
即向量OP⊥向量OQ
∴x1x2+y1y2=0
将直线方程和圆的方程联立
y=(3-x)/2代入圆方程
化简后得：5x^2+10x+4c-27=0
由韦达定理 x1x2=c/a=(4c-27)/5
x1+x2=-b/a=-2
∵x1x2+y1y2=0
y1y2=[(3-x1)/2]×[(3-x2)/2]代入上式
化简得5x1x2-3(x1+x2)+9=0
∴ 4c-27+6+9=0
解得 c=3
那里看不明白请及时联系我~!
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)
OP的斜率k1=y1/x1，OQ的斜率k2=y2/x2，
因为OP⊥OQ
所以：k1k2=-1，即：y1y2=-x1x2；
因为点P，Q在直线x+2y-3=0上
所以：x1=3-2y1，x2=3-2y2
则：x1x2=4y1y2-6(y1+y2)+9
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设P(x1,y1)，Q(x2,y2)
OP的斜率k1=y1/x1，OQ的斜率k2=y2/x2，
因为OP⊥OQ
所以：k1k2=-1，即：y1y2=-x1x2；
因为点P，Q在直线x+2y-3=0上
所以：x1=3-2y1，x2=3-2y2
则：x1x2=4y1y2-6(y1+y2)+9
因为x1x2=-y1y2，
所以：-y1y2=4y1y2-6(y1+y2)+9
整理得：5y1y2-6(y1+y2)+9=0 ，①
把直线x=3-2y代入圆方程，得：(3-2y)²+y²+(3-2y)-6y+c=0
整理得：5y²-20y+12+c=0
由韦达定理：y1+y2=4，y1y2=(12+c)/5
代入①式，得：12+c-24+9=0
可解得：c=3
注：直线与圆锥曲线的题型，找出等量关系式，按条件列式，联列方程组，用韦达定理；这是一个经常使用的固定套路，要好好掌握哦。。。
希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！元旦快乐！
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