作业帮如图所示,已知圆C:(x +1)²+y²=8,定点A（1,0）,M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且且满足（向量AM)=2(向量AP),(向量NP)×(向量AM)=0,点N的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 07:04:46
如图所示,已知圆C:(x +1)²+y²=8,定点A（1,0）,M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且且满足（向量AM)=2(向量AP),(向量NP)×(向量AM)=0,点N的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0,
如图所示,已知圆C:(x +1)²+y²=8,定点A（1,0）,M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且
且满足（向量AM)=2(向量AP),(向量NP)×(向量AM)=0,点N的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0,2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间）,且满足（向量FG）=λ（向量FH）,求λ的取值范围.
如图所示,已知圆C:(x +1)²+y²=8,定点A（1,0）,M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且且满足（向量AM)=2(向量AP),(向量NP)×(向量AM)=0,点N的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0,
（1）显然PN是AM中垂线,故MN=AN,所以
CN+AN=CM=2√2,故N点轨迹为以A、C为焦点的椭圆,有
c=1,a=√2,可得b=1,故
点N轨迹方程曲线E为x²/2+y²=1,
（2）不妨设FH斜率为k,且将原点移至F,
则直线FH方程为y=kx,
则椭圆方程变为x²/2+（y-2）²=1,
将直线方程代入椭圆得x²/2+（kx-2）²=1,整理得
（1+2k²）x²-8kx+6=0,
要有交点,首先要△=（-8k）²-4·6（1+2k²）=16k²-24≥0,即k²≥3/2,
因为左右对称,可以研究单侧,
当k＞0时,λ=x1/x2=｛-b-√（b²-4ac）｝／｛-b+√（b²-4ac）｝,即
｛8k-√（16k²-24）｝／｛8k+√（16k²-24）｝
=｛2-√（1-3/2k²）｝／｛2+√（1-3/2k²）｝,
可得λ∈[1,3].