作业帮如图,在三角形ABC中,角C=90°.CD⊥AB,I1、I2为△CAD、△CDB内切圆直线I1I2交AC于点M,交BC于点N,交CD于点K.求证：CM=CD=CN.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 11:05:03
如图,在三角形ABC中,角C=90°.CD⊥AB,I1、I2为△CAD、△CDB内切圆直线I1I2交AC于点M,交BC于点N,交CD于点K.求证：CM=CD=CN.
如图,在三角形ABC中,角C=90°.CD⊥AB,I1、I2为△CAD、△CDB内切圆
直线I1I2交AC于点M,交BC于点N,交CD于点K.求证：CM=CD=CN.
如图,在三角形ABC中,角C=90°.CD⊥AB,I1、I2为△CAD、△CDB内切圆直线I1I2交AC于点M,交BC于点N,交CD于点K.求证：CM=CD=CN.
设:圆I1(圆心为I1)和AD的切点为E,和CD的切点为F；圆I2(圆心为I2)和CD的切点为G,和DB的切点为H.在△AEI1和△CGI2中,∠I1AE=∠CAD/2=∠BCD/2=∠I2CG(内切圆性质),∠I1EA=∠I2GC=90°(内切圆性质),所以△AEI1和△CGI2相似,所以GI2/EI1=CG/AE=(CD-GD)/(AD-ED)=(CD-GI2)/(AD-EI1)(四边形I1EDF和I2GDH为正方形),所以GI2/EI1=(CD-GI2+GI2)/(AD-EI1+EI1)=CD/AD(比例性质)①；直线I1I2的斜率为(I2H-I1E)/(GI2+FI1)=(GI2-EI1)/(GI2+EI1)=[(GI2/EI1)-1]/[(GI2/EI1)+1]=[(CD/AD)-1]/[(CD/AD)+1]=(tan∠CAD-1)/(tan∠CAD+1)=(tan∠CAD-tan45°)/(1+tan∠CADtan45°)=tan(∠CAD-45°),所以∠CMN=45°,所以∠CNM=90°-45°=45°,所以△CMN为等腰直角三角形,所以CM=CN②；在△CMI1和△CDI1中,∠MCI1=∠DCI1=∠ACD/2(内切圆性质),∠CDI1=45°(DI1为正方形I1EDF的对角线)=∠CMI1,CI1=CI1(公共边),所以△CMI1和△CDI1全等,所以CM=CD③；综上所述,CM=CD=CN(证毕).
在△AEI1和△CGI2中，∠I1AE=∠CAD/2=∠BCD/2=∠I2CG(内切圆性质)，∠I1EA=∠I2GC=90°(内切圆性质)，所以△AEI1和△CGI2相似，所以GI2/EI1=CG/AE=(CD-GD)/(AD-ED)=(CD-GI2)/(AD-EI1)(四边形I1EDF和I2GDH为正方形)，所以GI2/EI1=(CD-GI2+GI2)/(AD-EI1+EI1)=CD/AD(比例...
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在△AEI1和△CGI2中，∠I1AE=∠CAD/2=∠BCD/2=∠I2CG(内切圆性质)，∠I1EA=∠I2GC=90°(内切圆性质)，所以△AEI1和△CGI2相似，所以GI2/EI1=CG/AE=(CD-GD)/(AD-ED)=(CD-GI2)/(AD-EI1)(四边形I1EDF和I2GDH为正方形)，所以GI2/EI1=(CD-GI2+GI2)/(AD-EI1+EI1)=CD/AD(比例性质)①；直线I1I2的斜率为(I2H-I1E)/(GI2+FI1)=(GI2-EI1)/(GI2+EI1)=[(GI2/EI1)-1]/[(GI2/EI1)+1]=[(CD/AD)-1]/[(CD/AD)+1]=(tan∠CAD-1)/(tan∠CAD+1)=(tan∠CAD-tan45°)/(1+tan∠CADtan45°)=tan(∠CAD-45°)，所以∠CMN=45°，所以∠CNM=90°-45°=45°，所以△CMN为等腰直角三角形，所以CM=CN②；在△CMI1和△CDI1中，∠MCI1=∠DCI1=∠ACD/2(内切圆性质)，∠CDI1=45°(DI1为正方形I1EDF的对角线)=∠CMI1，CI1=CI1(公共边)，所以△CMI1和△CDI1全等，所以CM=CD③；综上所述，CM=CD=CN(证毕)。 55
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