如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知A、B两点的坐标分别为（4,0）、（0,2）,将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD,抛物线y=ax2-2ax+4经过点A．（1）求抛物线的函数表达式,并判断点D是否在该抛物

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 16:10:26

如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知A、B两点的坐标分别为（4,0）、（0,2）,将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD,抛物线y=ax2-2ax+4经过点A．（1）求抛物线的函数表达式,并判断点D是否在该抛物
如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知A、B两点的坐标分别为（4,0）、（0,2）,将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD,抛物线y=ax2-2ax+4经过点A．
（1）求抛物线的函数表达式,并判断点D是否在该抛物线上；
（2）如图2,若点P是抛物线对称轴上的一个动点,求使|PC-PD|的值最大时点P的坐标；
（3）设抛物线上是否存在点E,使△CDE是以CD为直角边的直角三角形?若存在,请求出所有点E的坐标,若不存在,请说明理由．

如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知A、B两点的坐标分别为（4,0）、（0,2）,将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD,抛物线y=ax2-2ax+4经过点A．（1）求抛物线的函数表达式,并判断点D是否在该抛物
(1)把点A（4,0）代入抛物线的表达式可求得a=-1/2,所以y=-1/2x^2+x+4,由旋转可知点D坐标（-2,0）,代入可知点D满足抛物线表达式,点D在抛物线上
（2)由抛物线解析式可求抛物线的对称轴为x=1,作点C（4,0）关于对称轴的对称点C‘,易求点C’的坐标（2,4）,连结C‘D,则C‘D与对称轴的交点P即为所求的点,因为直线C'D过C'(2,4),D(-2,4),所以可以求出直线C'D的解析式,点P的横坐标可知等于1,代入直线C'D的解析式,就可以把点P的纵坐标求出来了,可求得点P的坐标是（1,3）
（3）设抛物线上存在点E（h,k)满足题意,有,CD^2+CE^2=DE^2 由勾股定理可得CD^2=20 由两点间的距离公式可求CE^2=h^2+(k-4)^2 ,DE^2=(h+2)^2+k^2,得到等式整理得：2k+h=8 而点E在抛物线上满足抛物线表达式代入得到一个式子和2k+h=8 联立解出k和h的值,就可以把点E求出,最后点E坐标为（3,5/2)和（0,4）（和点C重合）