如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,AD⊥CE,D、E为垂足,求证:DE+BE=CE.

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,AD⊥CE,D、E为垂足,求证:DE+BE=CE.
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,AD⊥CE,D、E为垂足,求证:DE+BE=CE.

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,AD⊥CE,D、E为垂足,求证:DE+BE=CE.
证明：①∵∠ACB=90°,BE⊥CE,AD⊥CE,
∴∠BEC=∠ACB=∠ADC=90°,
∴∠ACE+∠BCE=90°,∠BCE+∠CBE=90°,
∴∠ACD=∠CBE,
在△ADC和△CEB中

∠ADC＝∠BEC ∠ACD＝∠CBE AC＝BC

,
∴△ADC≌△CEB（AAS）．

②∵△ADC≌△CEB,
∴AD=CE,BE=CD,
∴CE-CD=AD-BE,
∵DE=CE-CD,
∴DE=AD-BE．

证明：
在△BCE和△CAD中
∠BEC=90°=∠CDA
∠BCE=90°-∠ACD=∠CAD
BC=CA
∴△BCE≌△CAD
∴BE=CD
故DE+BE=DE+CD=CE