作业帮如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,交CD与K,交BC于E,F是BE上一点,且BF=CE,求证：FK
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 21:31:35
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,交CD与K,交BC于E,F是BE上一点,且BF=CE,求证：FK
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,交CD与K,交BC于E,F是BE上一点,且BF=CE,求证：FK
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,交CD与K,交BC于E,F是BE上一点,且BF=CE,求证：FK
证明：过点K作MK∥BC,
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE,
又∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠BAE+∠DKA=∠CAE+∠CEA=90°,
∴∠DKA=∠CEA,
又∵∠DKA=∠CKE,
∴∠CEA=∠CKE,∴CE=CK,又CE=BF,
∴CK=BF
而MK∥BC,
∴∠B=∠AMK,
∴∠BAC+∠B=∠DCA+∠BCA=90°,
∴∠AMK=∠DCA,
在△AMK和△ACK中,
∴∠AMK=∠DCA,AK=AK,∴∠BAE=∠CAE,
∴△AMK≌△ACK,
∴CK=MK,
∴MK=BF,MK∥BF,
四边形BFKM是平行四边形,
∴FK∥AB．
∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∴AD/AC=AC/AB
∵AE平分∠BAC
∴AD/AC=DK/CK，CE/BE=AC/AB
∴DK/CK=CE/BE
∵BF=CE，CF=CE+EF，BE=BF+EF
∴DK/CK=BF/BE，CF=BE
∴DK/CK=BF/CF
∴FK//AB
CE=CF=GB．
理由如下：
（1）∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠ACD+∠CAD=90°．
∴∠ACD=∠ABC．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE．
∵∠CEF=∠BAE+∠ABC，∠CFE=∠CAE+∠ACD，
∴∠CEF=∠CFE．
∴CE=CF（...
全部展开
CE=CF=GB．
理由如下：
（1）∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠ACD+∠CAD=90°．
∴∠ACD=∠ABC．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE．
∵∠CEF=∠BAE+∠ABC，∠CFE=∠CAE+∠ACD，
∴∠CEF=∠CFE．
∴CE=CF（等角对等边）．
（2）如图，过E作EH⊥AB于H，
∵AE平分∠BAC，EH⊥AB，EC⊥AC，
∴EH=EC（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
∴EH=CF．
∵FG∥AB，
∴∠CGF=∠EBH．
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴∠CFG=∠EHB=90°．
在Rt△CFG和Rt△EHB中
∵∠CGF=∠EBH，∠CFG=∠EHB，CF=EH，
∴Rt△CFG≌Rt△EHB．
∴CG=EB．
∴CE=GB．
∴CE=CF=GB．
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