作业帮如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,AD⊥侧面PAB,△PAB是等边三角形,DA=AB=2,BC=12AD,E是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥CD；（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积；（Ⅲ）求PC与平面PDE所
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 01:28:10
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,AD⊥侧面PAB,△PAB是等边三角形,DA=AB=2,BC=12AD,E是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥CD；（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积；（Ⅲ）求PC与平面PDE所
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,AD⊥侧面PAB,△PAB是等边三角形,DA=AB=2,BC=12AD,E是线段AB的中点．
（Ⅰ）求证：PE⊥CD；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅲ）求PC与平面PDE所成角的正弦值．
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,AD⊥侧面PAB,△PAB是等边三角形,DA=AB=2,BC=12AD,E是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥CD；（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积；（Ⅲ）求PC与平面PDE所
题目中的条件应该是BC=1/2AD吧,不然图形就失真了.
1、证明：∵AD⊥侧面PAB∴AD⊥PE
又由△PAB是等边三角形,E是线段AB的中点 得AB⊥PE
而AB∩AD=A,AB、AD∈平面ABCD ∴PE⊥平面ABCD ∴PE⊥CD
2、体积V=1/3S*H=1/3*（1+2）*2/2*（3)^(1/2）=3^(1/2)
3、∵PE⊥平面ABCD PE∈平面PED ∴平面PED⊥平面ABCD
过C作CF⊥ED于F,连接PF
由已知可以证明CF⊥平面PED CF⊥PF 即∠CPF为PC与平面PDE所成角
∴sin∠CPF=CF/PC 注意到PC=CD=5^(1/2) 故△CPF与△CDF是全等的
即∠CPF＝∠CDF 这就转化成在梯形内求解
设∠CDF=θ,∠ADF=β,∠CDA=α 即θ=α-β,
sinθ=sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=2/5^(1/2)*2/5^(1/2)-1/5^(1/2)*1/5^(1/2)=3/5