一个数论问题求证:当n>1时,1+1/2+1/3+...＋1/n不是整数.

一个数论问题求证:当n>1时,1+1/2+1/3+...＋1/n不是整数.
一个数论问题
求证:当n>1时,1+1/2+1/3+...＋1/n不是整数.

一个数论问题求证:当n>1时,1+1/2+1/3+...＋1/n不是整数.
当n=2时,1＋1/2=3/2显然不是整数,结论成立.下面要证明的是,当n>=3时,1+1/2+1/3+……＋1/n也不可能是整数.设s=1+1/2+1/3+……＋1/n.,m是满足2^m=3,故在所有的分母当中（都是奇数^_^）必定存在一个最大的奇素数,设它为p,这样在分母中去掉p,设余下的奇数的最小公倍数为N,我们在Ms=M+M/2+M/3＋……M/n两边再同时乘以N,得到MNs=MN+MN/2+MN/3＋……MN/n.注意到等式右边的每一项MN/k（k=1,2,3,……n）, 当且仅当k＝p时,MN/k不是整数,其他的项都是整数.所以等式右边最后得到的不是整数!从而等式左边的MNs也不是整数, 这样一来如果s是整数的话,那么
MNs就变成整数了,矛盾!所以s决不可能是整数.结论证明完毕^_^
为了使你能更好理解上述证明过程,我给你具体举个例子吧^_^.例如证明s=1+1/2+1/3+……＋1/10不是整数,2^310,所以取M＝2^3=8,于是在s=1+1/2+1/3+……＋1/10得到8s=8+4+8/3+2+8/5+4/3+8/7+1+8/9+4/5,右边有5项不是整数,它们的分母依次是3,5,3,7,9,5.期中最大的奇素数p是7, 除掉7剩下的数最小公倍数是45,因而N＝45.所以8*45*s=8×45＋4×45＋8×15＋2×45＋8×9＋4×15＋8×45/7＋8×5＋4×9,很明显等式右边8×45/7这一项是不可约分数,因而整个和式结果不是整数,所以s不可能是整数.