如图,正三棱柱ABC—A1B1C1,AA1=AB,E是侧棱AA1的中点,（1）求证BC1垂直EC,（2）求二面角A-B-C的大小能不能用文科的方法,不用直角坐标系啊?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 18:49:18

如图,正三棱柱ABC—A1B1C1,AA1=AB,E是侧棱AA1的中点,（1）求证BC1垂直EC,（2）求二面角A-B-C的大小能不能用文科的方法,不用直角坐标系啊?
如图,正三棱柱ABC—A1B1C1,AA1=AB,E是侧棱AA1的中点,（1）求证BC1垂直EC,（2）求二面角A-B-C的大小
能不能用文科的方法,不用直角坐标系啊?

如图,正三棱柱ABC—A1B1C1,AA1=AB,E是侧棱AA1的中点,（1）求证BC1垂直EC,（2）求二面角A-B-C的大小能不能用文科的方法,不用直角坐标系啊?
第一个问题：
令BC1∩B1C＝O.
∵ABC－A1B1C1是正三棱柱,AA1＝AB,∴AA1B1B、AA1C1C、BB1C1C是全等的正方形.
∴BO＝C1O＝B1O＝CO,且BC1⊥B1C.······①
∵E是AA1的中点,
∴由勾股定理,容易算出：BE＝C1E,结合证得的BO＝C1O,得：BC1⊥EO.······②
由①、②及BC1∩EO＝O,得：BC1⊥平面EB1C,∴BC1⊥EC.
第二个问题：你忙中大意了,是不是求二面角A－BE－C的大小?　若是这样,则方法如下.
令AB的中点为D,过D作DF⊥BE交BE于F,连结CF.
∵AA1B1B、AA1C1C、BB1C1C是全等的正方形,∴AB＝BC＝AC,又D为AB的中点,
∴CD⊥AB.
显然有平面ABC⊥平面ABB1A1,又平面ABC∩平面ABB1A1＝AB,结合证得的CD⊥AB,得：
CD⊥平面ABB1A1,∴DF是CF在平面ABB1A1上的射影,
∴由三垂线定理,有：CF⊥BE.
由DF⊥BE、CF⊥BE,得：∠CFD为二面角A－BE－C的平面角.
∵Rt△ABE与Rt△FBD有一个公共锐角,即∠ABE,∴Rt△ABE∽Rt△FBD,
∴DF/AE＝BD/BE,∴DF＝BD×AE/BE.
∴tan∠CFD＝CD/DF＝CD×BE/（BD×AE）
＝（√3/2）AB√（AB^2＋AE^2）/［（1/2）AB×（1/2）AA1］
＝2√3×√［AB^2＋（AA1/2）^2］/AB
＝2√3×√［AB^2＋（AB/2）^2］/AB
＝2√3×√（1＋1/4）
＝√15.
∴∠CFD＝arctan√15.　即二面角A－BE－C的大小为 arctan√15.
注：第二个问题若不是我所猜测的那样,则请你补充说明.