作业帮已知函数f(x)=（1/3）x^3+2f '(2)x^2+3x(x∈R)的图像为曲线C（1）求f（x）的表达式（2）求曲线C切线斜率的取值范围（3）设g（x）=f（x）-k▪e^x -14x（x∈R),若雨g（x）图象相切且垂直于y轴的直线
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 06:13:03
已知函数f(x)=（1/3）x^3+2f '(2)x^2+3x(x∈R)的图像为曲线C（1）求f（x）的表达式（2）求曲线C切线斜率的取值范围（3）设g（x）=f（x）-k▪e^x -14x（x∈R),若雨g（x）图象相切且垂直于y轴的直线
已知函数f(x)=（1/3）x^3+2f '(2)x^2+3x(x∈R)的图像为曲线C
（1）求f（x）的表达式
（2）求曲线C切线斜率的取值范围
（3）设g（x）=f（x）-k▪e^x -14x（x∈R),若雨g（x）图象相切且垂直于y轴的直线有3条,求k取值范围.
能做多少就多少.QuQ
已知函数f(x)=（1/3）x^3+2f '(2)x^2+3x(x∈R)的图像为曲线C（1）求f（x）的表达式（2）求曲线C切线斜率的取值范围（3）设g（x）=f（x）-k▪e^x -14x（x∈R),若雨g（x）图象相切且垂直于y轴的直线
对f(x)求导得：f'(x)=x^2+4f'(2)x+3
令x=2,则f'(2)=4+8f'(2)+3 解得f'(2)=-1
所以f(x)=x^3/3-2x^2+3x
切线斜率f'(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1
x∈R,则f'(x)≥-1
即斜率的取值范围为[-1,+∞)
g'(x)=f'(x)-ke^x-14=x^2-4x-11-ke^x
与g(x)图象相切且垂直于y轴的直线的斜率为0
说明g'(x)=0有3个不同的解
g'(x)=0即x^2-4x-11=ke^x
画草图可知k≤0时,不可能有3个交点,从而k>0
再变换为ln(x^2-4x-11)=x+lnk
从而ln(x^2-4x-11)与x+lnk有3个交点
y=ln(x^2-4x-11)为以x=2±√15为界在x<2-√15时单调递减,在x>2+√15时单调递增
要使有3个交点,则直线y=x+lnk与x>2+√15时的y=ln(x^2-4x-11)必须相交
(直线y=x+lnk与x<2-√15时的y=ln(x^2-4x-11)一定只有一个交点)
而相切时为临界点
令y'=(2x-4)/(x^2-4x-11)=1得：x=7 或 x=-1>2-√15(舍去)
代入x=7得：y=ln(x^2-4x-11)得：y=ln10
将切点(7,ln10)代入y=x+lnk得：k=10e^(-7)
当y=x+lnk向上平移时,k增大：交点减少,只有1个交点
当y=x+lnk向下平移时,k减少：交点增加,有3个交点
所以：0<k<10e^(-7)