作业帮已知直线x+2y-3=0交圆x^2+y^2+x-6y+F=0于点P,Q,O为坐标原点,且OP垂直于OQ,则F为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 05:49:52
已知直线x+2y-3=0交圆x^2+y^2+x-6y+F=0于点P,Q,O为坐标原点,且OP垂直于OQ,则F为?
已知直线x+2y-3=0交圆x^2+y^2+x-6y+F=0于点P,Q,O为坐标原点,且OP垂直于OQ,则F为?
已知直线x+2y-3=0交圆x^2+y^2+x-6y+F=0于点P,Q,O为坐标原点,且OP垂直于OQ,则F为?
题目圆方程x^2+y^2+x-6y+F=0是不是多写了一个x?
否则计算好麻烦的.
连接PQ
作OD垂直PQ于D
因OP=OQ
直线OD是角∠POQ的平分线
∠POQ = 90°
∠POD = 45°
r = OP = √2OD
OD是圆心到直线x+2y-3=0的距离
将圆：x^2+y^2-6y+F=0化为标准形式,得
x^2 + (y-3)^2 = 9 - F
则圆心为(0, 3)
半径r = √(9 - F)
OD = |6-3|/√5 = 3√5/5
所以有
√(9 - F) = √2*3√5/5
解得
F = 27/5
若圆方程没错,计算方法仍然一样,只是计算复杂很多.
答案：3
将圆方程化简为标准式有：
[x+(1/2)]^2+(y-3)^2=(37-4f)/4……………………………（1）
所以，圆心坐标为(-1/2,3)
联立直线与圆方程得到：
x^2+x+y^2-6y+f=0
x+2y-3=0
===> (2y-3)^2-(2y-3)+y^2-6y+f=0
===> 4y^2-12...
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答案：3
将圆方程化简为标准式有：
[x+(1/2)]^2+(y-3)^2=(37-4f)/4……………………………（1）
所以，圆心坐标为(-1/2,3)
联立直线与圆方程得到：
x^2+x+y^2-6y+f=0
x+2y-3=0
===> (2y-3)^2-(2y-3)+y^2-6y+f=0
===> 4y^2-12y+9-2y+3+y^2-6y+f=0
===> 5y^2-20y+(f+12)=0
===> y1+y2=4，y1y2=(f+12)/5
===> x1x2=(-2y1+3)(-2y2+3)=4y1y2-6(y1+y2)+9=4(f+12)/5-15
已知OP⊥OQ
则，Kop*Koq=-1
即：(y1/x1)*(y2/x2)=-1
===> y1y2+x1x2=0
===> (f+12)/5+4(f+12)/5-15=0
===> f+12-15=0
===> f=3
收起